Las distribuciones sobre las que se sostienen las finanzas

En la lección anterior conocisteis la maquinaria de una variable aleatoria: una PDF que dice con qué densidad se agrupan los resultados, una CDF que acumula probabilidad hasta un punto, y una esperanza que fija el promedio. Abstracciones preciosas, pero las finanzas no funcionan con abstracciones. Funcionan con una breve lista de distribuciones con nombre que aparecen una y otra vez: la normal para los rendimientos, la lognormal para los precios y las primas de colas gruesas que toman el mando en cuanto los mercados dejan de comportarse.

Esta lección es el bestiario. Aprended estas pocas formas y reconoceréis los supuestos escondidos dentro de los valoradores de opciones, los modelos de riesgo y ese «movimiento de dos sigmas» que vuestro gestor acaba de murmurar. Equivocaos —asumid una campana donde acecha una cola gruesa— y seréis vosotros quienes expliquen por qué una pérdida «de una vez cada millón de años» ocurrió dos veces esta década.

La distribución normal: la campana por defecto

Analogía. Imaginad la altura de cada analista de una empresa gigantesca marcada en una pared. La mayoría se agrupa cerca de la media; unos pocos son inusualmente bajos o altos; nadie mide nueve metros. Dibujad el amontonamiento y obtenéis la famosa campana —densa en el centro, adelgazando simétricamente hacia ambos bordes—. La distribución normal es esa forma hecha precisa.

Definición. Una distribución normal (de Gauss) queda descrita por completo por solo dos números: su media $\mu$ (donde se sitúa el pico, el centro de masa) y su desviación típica $\sigma$ (lo ancha que es la campana, la distancia típica a la media). Su PDF es

Rara vez tocáis esa fórmula a mano. Lo que sí usáis constantemente es su característica regla 68–95–99,7: para cualquier distribución normal,

Ejemplo resuelto. Una acción tiene un rendimiento mensual aproximadamente normal con media $\mu = 1\%$ y desviación típica $\sigma = 5\%$. Entonces:

• Cerca del 68% de los meses caen entre $1\% - 5\% = -4\%$ y $1\% + 5\% = 6\%$.
• Cerca del 95% caen entre $1\% - 10\% = -9\%$ y $1\% + 10\% = 11\%$ (a dos sigmas).
• Solo cerca del 0,3% de los meses —aproximadamente 1 de cada 300— deberían quedar fuera de $\pm 3\sigma$, es decir, por debajo del $-14\%$ o por encima del $16\%$.

La misma figura de dos curvas que veis abajo hace visible la dispersión: ambas campanas comparten un rendimiento medio, pero la más ancha desparrama sus resultados mucho más lejos de ese centro. Esa anchura es exactamente $\sigma$.

Por qué es la opción por defecto. La normal es el caballo de batalla por tres razones. Primera, el teorema central del límite: sumad muchos choques pequeños e independientes (las miles de operaciones que mueven un precio cada día) y su suma tiende hacia una normal, casi con independencia de la forma de los choques individuales. Segunda, es matemáticamente sin fricción —las sumas de normales son normales, y todo queda fijado solo por $\mu$ y $\sigma$—, lo que hace tratable la matemática de carteras. Tercera, convención y herramientas: el VaR, el ratio de Sharpe y los modelos de valoración de opciones arrancan todos de un supuesto gaussiano, así que es la lengua franca.

Estandarizar: el z-score

Analogía. Dos estudiantes sacan un 80 y un 80 en exámenes distintos. ¿Idénticos? No hasta que conozcáis la media y la dispersión de cada clase. Convertir una nota bruta en «cuántas desviaciones típicas por encima o por debajo de la media» los pone en una regla común. Esa regla común es el z-score, y hace el mismo trabajo con rendimientos medidos en unidades dispares.

Definición. El z-score de un valor $x$ de una distribución con media $\mu$ y desviación típica $\sigma$ es

Responde a una sola pregunta: ¿a cuántas desviaciones típicas está $x$ de la media? Restar $\mu$ recentra la distribución en cero; dividir por $\sigma$ la reescala a anchura unitaria. El resultado es la normal estándar —una normal con $\mu = 0$ y $\sigma = 1$— y, de forma crucial, toda normal se convierte en la misma normal estándar tras esta transformación. Calculáis una tabla de la CDF una vez y la reutilizáis para siempre.

Ejemplo resuelto. Dos fondos tienen un mes de $-3\%$.

Misma pérdida titular, historias completamente distintas. Para Estable, un mes de $-3\%$ es un evento de 2 sigmas —cerca del borde del 95%, genuinamente sorprendente—. Para Salvaje es un bostezo de $-0,5$ sigmas, bien dentro de un mes corriente. El z-score es lo que os deja afirmarlo.

La distribución lognormal: por qué les toca a los PRECIOS, no a los rendimientos

Analogía. Los rendimientos pueden oscilar en cualquier sentido alrededor de cero —subir un 5%, bajar un 5%, simétrico—. Pero un precio tiene un suelo duro: una acción puede caer hasta $0 y pararse, pero en principio puede subir sin límite. Esa asimetría —un muro a la baja, cielo abierto al alza— es exactamente lo que captura la distribución lognormal.

Definición. Una variable se distribuye de forma lognormal si su logaritmo se distribuye normalmente. El vínculo pasa por la capitalización: si los rendimientos compuestos de forma continua (logarítmicos) son normales, entonces el precio es la exponencial de esos rendimientos, y la exponencial de una normal es una lognormal. Dos consecuencias salen directas:

1. Los precios no pueden ser negativos. La función exponencial nunca cae por debajo de cero, así que una variable lognormal vive estrictamente en el lado positivo, lo que encaja con la realidad: el precio de una acción nunca es negativo.
2. Tiene asimetría a la derecha. Exponenciar estira la cola superior y comprime la inferior, así que la distribución se inclina a la izquierda con una larga cola que se arrastra hacia la derecha. La media se sitúa por encima de la mediana, arrastrada al alza por esas raras ganancias grandes.

Por eso el mismo activo se modela de dos maneras a la vez: sus rendimientos se toman como (aproximadamente) normales y simétricos, mientras que su precio —el resultado capitalizado de esos rendimientos— sale lognormal y asimétrico. La valoración de opciones de Black–Scholes se construye exactamente sobre esto: rendimientos logarítmicos normales, precio terminal lognormal.

Ejemplo resuelto. Una acción a $100 tiene un rendimiento logarítmico anual compuesto de forma continua que es normal con media $0$ y desviación típica $\sigma = 0,2$. A lo largo de un año, el rendimiento logarítmico $r$ es normal, y el precio acaba en $S = 100\,e^{r}$.

• Un resultado típico ($r = 0$) da $100 \times e^{0}$, dejando el precio en $100 —la mediana—.
• Un buen año ($r = +0{,}2$, un sigma al alza) da $100 \times e^{0{,}2}$, unos $122.
• Un mal año ($r = -0{,}2$, un sigma a la baja) da $100 \times e^{-0{,}2}$, unos $82.

Fijaos en la asimetría: el movimiento al alza suma cerca de $22 mientras que el movimiento a la baja equivalente resta solo cerca de $18. Rendimientos logarítmicos iguales y opuestos producen movimientos de precio desiguales —el lado alcista corre un poco más caliente—. Esa brecha es la asimetría a la derecha, y es por lo que la media de la lognormal (unos $102 aquí) se sitúa por encima de su mediana ($100).

Colas gruesas: cuando la campana subestima los extremos

Analogía. La distribución normal es una optimista: asume que el mundo se calma rápido a medida que os alejáis del promedio, así que cualquier cosa más allá de $\pm 4\sigma$ es esencialmente imposible. Los mercados reales son pesimistas. Sirven cracs, saltos y días de límite a la baja mucho más a menudo que eso. La distribución de los rendimientos reales tiene colas gruesas (el término técnico es leptocurtosis —exceso de curtosis—): más masa amontonada en los extremos de la que permite una gaussiana, a menudo con un pico más alto y delgado en el centro para compensar.

Definición. La curtosis mide la pesadez de las colas. La normal tiene una curtosis de exactamente $3$ (o «exceso de curtosis» de $0$). Una distribución con exceso de curtosis $> 0$ —leptocúrtica— tiene colas más gruesas y un pico más agudo; los rendimientos diarios reales de la renta variable muestran de forma rutinaria un exceso de curtosis muy por encima de cero. La traducción práctica: los eventos que la normal etiqueta como «de una vez por milenio» llegan en realidad cada pocos años.

Un arreglo estándar es cambiar la gaussiana por la distribución t de Student, que tiene forma de campana pero colas más pesadas. Tiene un único dial, los grados de libertad $\nu$ (nu): un $\nu$ bajo significa colas muy gruesas, y a medida que $\nu \to \infty$ la t de Student converge de nuevo a la normal. Bajad el dial abajo y observad cómo un movimiento de 4 sigmas pasa de fenómeno extraño a visitante frecuente.

Ejemplo resuelto. Bajo una distribución normal, un movimiento diario más allá de $-4\sigma$ tiene una probabilidad de cerca del $0,003\%$ —aproximadamente una vez cada 30.000 días de negociación, o cerca de una vez cada 125 años—. Sin embargo, a lo largo de largas historias de mercado, los días de $-4\sigma$ (y mucho peores) aparecen cada puñado de años. El 19 de octubre de 1987 —el Lunes Negro— fue un movimiento diario de aproximadamente $-20\sigma$ sobre la volatilidad vigente. Bajo un modelo normal estricto, eso no es «raro»; es tan absurdamente improbable que no debería ocurrir en la vida del universo. Ocurrió un lunes. Esa sola contradicción es todo el alegato a favor de las colas gruesas.

Asimetría: por qué los rendimientos de la renta variable se inclinan del lado equivocado

Analogía. Imaginad la escalera de salida de un estadio abarrotado frente al pánico de un simulacro de incendio. La gente sale con calma a lo largo de muchos minutos, pero estampida hacia fuera en segundos. Los mercados de acciones tienen el mismo ritmo: suben despacio raspando y se desploman rápido. Esa asimetría —muchas ganancias pequeñas salpicadas por caídas violentas ocasionales— da a los rendimientos de la renta variable una asimetría negativa.

Definición. La asimetría mide lo torcida que está una distribución. Una asimetría negativa (a la izquierda) significa una cola larga que se estira hacia las pérdidas: la mayoría de los resultados son pequeños positivos, pero los raros movimientos grandes son desproporcionadamente a la baja. (La asimetría positiva es la imagen especular —una larga cola derecha de grandes ganancias, la forma de, digamos, los billetes de lotería o las apuestas de capital riesgo—.) Para una distribución asimétrica a la izquierda, la media se sitúa por debajo de la mediana: esos cracs ocasionales arrastran el promedio hacia abajo aunque un día típico sea levemente positivo.

Ejemplo resuelto. Supongamos que un año de rendimientos mensuales de renta variable dice: once meses de $+1\%$ y un mes de $-15\%$ (un crac).

• El mes mediano es $+1\%$ —la experiencia tranquila y típica—.
• El mes medio es $\dfrac{11(1\%) + (-15\%)}{12} = \dfrac{11\% - 15\%}{12} = \dfrac{-4\%}{12} \approx -0,33\%$.

La media está por debajo de la mediana, hundida bajo el agua por el único mes feo. Eso es la asimetría negativa en una línea de aritmética, y es por lo que «el mercado subió la mayoría de los meses» puede convivir con «el fondo perdió dinero este año».

La gran trampa: la normalidad subestima la cola

Apilad las dos secciones anteriores y obtenéis el error de modelado más caro de las finanzas. Los rendimientos reales son de colas gruesas y asimetría negativa. La distribución normal es de colas delgadas y simétrica. Así que siempre que modeláis los rendimientos como normales cometéis dos errores que apuntan en la misma dirección peligrosa:

1. Las colas gruesas significan que las pérdidas extremas son mayores y más frecuentes de lo que permite la campana —subestimáis con qué frecuencia golpea el desastre—.
2. La asimetría negativa significa que las peores sorpresas se agrupan a la baja —y un modelo simétrico reparte su cola (ya demasiado delgada) por igual, subestimando cuán mala se pone la cola izquierda—.

Ambos errores subestiman el riesgo a la baja. Un modelo de VaR o de capital construido sobre una gaussiana limpia parecerá prudente en mercados tranquilos y luego será pillado por sorpresa, una y otra vez, por pérdidas que calificó de casi imposibles. Esto no es hipotético: la crisis de 2008 estuvo plagada de «eventos de 25 desviaciones típicas, varios días seguidos» —una frase que, bajo una verdadera normal, describe algo que no puede ocurrir ni una sola vez en la edad del cosmos, mucho menos en martes consecutivos—. El modelo no tuvo mala suerte; se equivocó sobre la forma.

Juntándolo todo

Seis formas, una escalera. La normal es la campana simétrica que dos números —$\mu$ y $\sigma$— describen por completo, con su memorable regla 68–95–99,7 y la afirmación implícita de que las sorpresas al alza y a la baja son igual de probables. El z-score colapsa toda normal sobre una única regla estándar, de modo que una sola tabla de la CDF sirve para todas. A los precios les toca la lognormal porque capitalizan, no pueden ser negativos y se inclinan a la derecha. Y entonces irrumpe la realidad: los rendimientos tienen colas gruesas (leptocurtosis, domada por la t de Student) y asimetría negativa, y ambas significan que una gaussiana calladamente subestima el crac. Sabed qué forma se aplica dónde, y leeréis los supuestos de un modelo de riesgo tan claramente como sus resultados.

A continuación ponemos estas formas a trabajar: con los rendimientos, las esperanzas y una noción de dispersión en la mano, las siguientes lecciones convierten las distribuciones en los estadísticos centrales de riesgo y rentabilidad —varianza, covarianza, correlación y los ratios sobre los que las mesas operan de verdad—.