Covarianza, correlación y regresión

La lección anterior os entregó las herramientas para describir una sola variable aleatoria: su media, su varianza, su asimetría y su curtosis. Pero las finanzas rara vez tratan de una cosa aislada. Todo el juego —cobertura, diversificación, modelos de factores, trading de pares— gira en torno a una pregunta más profunda: cuando esto se mueve, ¿qué hace aquello? ¿Suben juntas dos acciones o se compensan? ¿Da bandazos vuestra cartera cuando el mercado los da, y cuánto? Esta lección es la maquinaria para responderlo. Empezamos con la covarianza (una medida cruda del comovimiento), la estandarizamos en correlación (la versión legible), luego ajustamos una recta de regresión a través de una nube de puntos para extraer los dos números que todo cuant memoriza —beta y alfa— y terminamos con la trampa que ha humillado a más analistas que ninguna otra: la correlación no es causalidad y solo ve líneas rectas.

Covarianza: ¿se mueven juntas dos cosas?

Analogía. Imaginad a dos amigos en un balancín. Si suben y bajan al unísono —ambos inclinándose hacia atrás en el mismo instante— están acoplados positivamente. Si uno sube justo cuando el otro baja, están acoplados negativamente. Si se tambalean al azar sin relación, están desacoplados. La covarianza es el número que puntúa cuál de estos casos tenéis.

Definición precisa. Para dos variables aleatorias $X$ e $Y$ con medias $\mu_X$ y $\mu_Y$, la covarianza es el producto esperado de sus desviaciones respecto a sus propias medias:

Leed el signo en el producto de dentro. Cuando $X$ está por encima de su media y $Y$ está por encima de la suya, ambas desviaciones son positivas, así que su producto es positivo. Cuando ambas están por debajo de sus medias, el producto de dos negativos es de nuevo positivo. Solo cuando una está por encima mientras la otra está por debajo obtenéis un producto negativo. Promediad todos esos productos:

• Covarianza positiva — suelen estar en el mismo lado de sus medias a la vez (se mueven juntas).
• Covarianza negativa — cuando una sube, la otra tiende a bajar (se mueven en sentidos opuestos).
• Covarianza cercana a cero — sin tirón lineal consistente en ningún sentido.

Fijaos en que $\mathrm{Cov}(X,X) = E[(X-\mu_X)^2] = \mathrm{Var}(X)$: la covarianza de una variable consigo misma es justo su varianza de la lección anterior. La varianza es el caso especial en que las «dos cosas» son la misma cosa.

Ejemplo resuelto. Tomad los rendimientos de dos activos a lo largo de cuatro periodos (una serie emparejada minúscula para que la aritmética se vea):

Primero las medias: $\mu_X = (2 - 1 + 3 - 4)/4 = 0\%$ y $\mu_Y = (1 - 2 + 4 - 3)/4 = 0\%$ —ambas promedian cero, lo que mantiene las desviaciones iguales a los números crudos—. Ahora multiplicad las desviaciones emparejadas periodo a periodo y promediadlas (dividiendo entre $n=4$ para una covarianza poblacional):

Suma de los productos $= 2 + 2 + 12 + 12 = 28$, así que $\mathrm{Cov}(X,Y) = 28/4 = 7$ (en unidades de porcentaje al cuadrado). Todos los productos salieron positivos —en cada periodo ambos activos se situaron en el mismo lado de sus medias—, así que la covarianza es sólidamente positiva: estos dos se mueven juntos.

Correlación: la covarianza que de verdad podéis leer

Analogía. La covarianza os dice la dirección del acoplamiento del balancín, pero mezcla lo grande que es cada niño: un temblorcito de un niño pesado y un bandazo enorme de uno ligero pueden producir el mismo número crudo. La correlación pesa a todos en la misma báscula. Elimina las magnitudes y deja una puntuación pura y adimensional de cuán estrechamente se mueven los dos, siempre entre $-1$ y $+1$.

Definición precisa. La correlación es la covarianza dividida entre el producto de las dos desviaciones típicas:

Dividir entre $\sigma_X\sigma_Y$ cancela las unidades feas (porcentaje al cuadrado arriba, porcentaje al cuadrado abajo) y reescala todo en la banda fija $-1 \le \rho \le +1$. Ahora el número significa algo por sí solo:

• $\rho = +1$ — relación lineal positiva perfecta; los puntos caen exactamente sobre una recta ascendente.
• $\rho = -1$ — relación lineal negativa perfecta; exactamente sobre una recta descendente.
• $\rho = 0$ — sin relación lineal (matiz crucial: retened esa idea para la sección final).
• En medio, $|\rho|$ mide la estrechez: $0{,}9$ es una nube prieta que abraza una recta, $0{,}2$ es un manchón flojo y apenas inclinado.

Ejemplo resuelto (continuando la serie de cuatro periodos). Hallamos $\mathrm{Cov}(X,Y) = 7$. Ahora las desviaciones típicas. Para X, las desviaciones al cuadrado son $4, 1, 9, 16$, que suman $30$; la varianza es $30/4 = 7{,}5$, así que $\sigma_X = \sqrt{7{,}5} \approx 2{,}74\%$. Para Y, las desviaciones al cuadrado son $1, 4, 16, 9$, que también suman $30$, dando $\sigma_Y = \sqrt{7{,}5} \approx 2{,}74\%$ igualmente. Entonces

Una correlación de $0{,}93$ —altísima—. La covarianza cruda de «$7$» era ininterpretable, pero una vez estandarizada lo grita: estos dos activos van casi al unísono. Por eso las mesas citan la correlación, no la covarianza, cuando hablan de cómo se relacionan los activos.

Arrastrad los controles de abajo para sentir cómo la correlación remodela el riesgo de una cartera: con $\rho = +1$ la volatilidad de la mezcla es justo la media ponderada de sus partes, pero a medida que $\rho$ cae el riesgo real baja por debajo de esa línea y se abre el beneficio de diversificación:

Regresión lineal simple: trazar la mejor recta

Analogía. Tenéis un diagrama de dispersión —una nube de puntos, uno por periodo, el rendimiento del mercado en el eje horizontal y el de vuestra cartera en el vertical—. Ahora imaginad enhebrar una única varilla recta por esa nube. Inclinadla y deslizadla hasta que se asiente «con la mayor justicia» en el centro de los puntos. Esa varilla es la recta de regresión, y la regla de «con la mayor justicia» es lo que la hace precisa.

Definición precisa. La regresión lineal simple modela una variable como una función de recta de otra, más ruido:

Aquí $x$ es el predictor (p. ej. el rendimiento del mercado), $y$ es la respuesta (el rendimiento de vuestro activo), $\alpha$ (alfa) es la ordenada en el origen —donde la recta cruza el eje vertical— y $\beta$ (beta) es la pendiente —cuántas unidades sube $y$ por unidad de $x$—. La $\varepsilon$ es el término de error: la brecha vertical entre cada punto real y la recta.

Mínimos cuadrados: la regla de «mejor». Hay infinitas rectas que podríais trazar. Los mínimos cuadrados ordinarios (MCO) eligen la única recta que minimiza la suma de los residuos verticales al cuadrado —las brechas al cuadrado entre cada punto y la recta—:

¿Por qué brechas al cuadrado en vez de las brechas a secas? Elevar al cuadrado hace que todo fallo sea positivo (de modo que los excesos y los defectos no se cancelen) y castiga mucho más los fallos grandes que los pequeños: un residuo de $4$ aporta $16$, mientras que cuatro residuos de $1$ aportan solo $4$. La recta que gana este concurso es única, y tiene una pendiente bellamente simple, que es la razón entera por la que la regresión importa en finanzas.

Beta y alfa: la pendiente es sensibilidad, la ordenada es habilidad

Analogía. Pensad en beta como una relación de engranajes entre vuestro activo y el mercado. Una beta de $1$ significa que vuestro activo va engranado en la misma marcha que el mercado —el mercado se mueve un $1\%$, vosotros un $1\%$—. Una beta de $1{,}5$ es una marcha más alta: cada meneo del $1\%$ del mercado se convierte en un bandazo del $1{,}5\%$ en vosotros. Una beta de $0{,}5$ es una marcha corta y perezosa, la mitad de reactiva. Alfa, mientras tanto, es el rendimiento que ganáis incluso cuando el mercado no hace nada —la altura de la recta en $x=0$—.

Beta como la pendiente de la regresión. Cuando regresáis los rendimientos de un activo sobre los del mercado, la pendiente de MCO tiene una forma cerrada limpia —la covarianza del activo con el mercado, dividida entre la varianza del mercado—:

Miradlo bien y veréis que es solo una correlación escalada: es el comovimiento (covarianza) renormalizado por cuán volátil es el propio mercado. Esta es la $\beta$ exacta del Modelo de Valoración de Activos de Capital (CAPM) que quizá hayáis conocido —la medida de cuánto riesgo sistemático (no diversificable, de todo el mercado) carga una acción—. Beta alta, alta exposición al mercado; beta baja, defensiva.

Alfa como la ordenada en el origen. Una vez fijada la pendiente, la recta se ve obligada a pasar por el punto de las medias $(\bar{x}, \bar{y})$, lo que fija la ordenada:

En lenguaje CAPM, $\alpha$ es el santo grial: el rendimiento en exceso que entrega un gestor y que la exposición al mercado por sí sola no puede explicar. Un alfa persistentemente positivo es prueba de habilidad genuina (o de un riesgo no medido por el que os pagan). La mayoría de los gestores, netos de comisiones, tienen un alfa indistinguible de cero —que es el argumento entero a favor de los fondos indexados—.

Ejemplo resuelto. Supongamos que en una muestra la covarianza del activo con el mercado es $\mathrm{Cov} = 0{,}012$ y la varianza del mercado es $\mathrm{Var} = 0{,}008$. Entonces $\beta = 0{,}012 / 0{,}008 = 1{,}5$ —una acción agresiva, de marcha alta—. Si el activo promedió $\bar{y} = 1{,}2\%$ por periodo mientras el mercado promediaba $\bar{x} = 0{,}7\%$, entonces $\alpha = 1{,}2\% - 1{,}5 \times 0{,}7\% = 1{,}2\% - 1{,}05\% = 0{,}15\%$ por periodo de rendimiento que la exposición al mercado no explica.

Alternad los preajustes de abajo para ver girar la recta ajustada conforme cambia beta, y elevadla para ver alfa en acción: la pendiente es cuán fuerte oscila la nube con el mercado, la ordenada es el rendimiento de regalo con movimiento de mercado nulo:

R² y residuos: ¿es buena la recta?

Analogía. Habéis trazado la mejor recta posible —pero «la mejor disponible» no significa «buena»—. Una recta perfecta enhebra cada punto exactamente; una recta inútil es un manchón plano por una mancha sin forma. El R cuadrado ($R^2$) puntúa dónde de ese espectro aterriza vuestra recta: es la fracción del meneo de $y$ que la recta consigue explicar.

Residuos. Un residuo es la sobra de un punto: la distancia vertical del punto de datos real a la recta, $e_i = y_i - \hat{y}_i$, donde $\hat{y}_i = \alpha + \beta x_i$ es la predicción de la recta. Los residuos son lo que MCO eleva al cuadrado y minimiza; son la parte de $y$ que la recta no logró explicar. Un punto justo sobre la recta tiene un residuo de cero; un punto muy por encima o por debajo tiene uno grande.

R² como varianza explicada. La variación total de $y$ se reparte en dos cubos —la parte que la recta explica y la que queda en los residuos—. $R^2$ es la cuota explicada:

Va de $0$ a $1$:

• $R^2 = 1$ — la recta lo explica todo; cada residuo es cero, todos los puntos clavados en la recta.
• $R^2 = 0$ — la recta no explica nada; predeciríais $y$ igual de bien con su media plana $\bar{y}$.
• $R^2 = 0{,}7$ — la recta da cuenta del $70\%$ de la variación de $y$; el $30\%$ restante vive en los residuos (ruido idiosincrático que el factor de mercado no capta).

El bello vínculo con la correlación. Para una regresión simple (un predictor), $R^2$ es exactamente el cuadrado de la correlación: $R^2 = \rho^2$. Nuestros activos de cuatro periodos tenían $\rho \approx 0{,}933$, así que una regresión de uno sobre el otro marcaría $R^2 \approx 0{,}933^2 \approx 0{,}87$ —la recta explicaría alrededor del $87\%$ de la variación—. Esa pulcra identidad es por la que $\rho$ y $R^2$ son dos vistas de la misma relación: la correlación os dice la dirección y la estrechez, y elevarla al cuadrado os dice la cuota de varianza explicada.

La gran trampa: la correlación no es causalidad (y solo ve rectas)

Analogía. Las ventas de helados y las muertes por ahogamiento suben juntas cada verano con una gorda correlación positiva. ¿Ahogan los helados a la gente? No —una tercera variable oculta, el calor, impulsa ambas—. La correlación informa fielmente de que dos cosas se mueven juntas; es absolutamente muda sobre por qué. Leer causalidad en una correlación es el error más caro de las finanzas cuantitativas.

Correlaciones espurias. Con suficientes series para saquear, siempre podéis encontrar dos que se muevan juntas por pura coincidencia —tasas de divorcio y consumo de margarina, el S&P 500 y la producción de mantequilla en Bangladés—. Son espurias: correlaciones reales y medibles con cero vínculo causal. En los mercados esto es una amenaza constante porque minar datos de miles de señales candidatas contra una serie de precios inevitablemente sacará a la luz «predictores» que funcionaron de maravilla dentro de la muestra y se evaporan en cuanto los operáis. Una correlación se gana el derecho a llamarse relación solo cuando hay un mecanismo y sobrevive fuera de muestra.

La correlación solo capta la asociación lineal. Incluso dejando de lado la causalidad, $\rho$ tiene un segundo punto ciego: mide solo la relación en línea recta. Dos variables pueden estar estrecha y deterministamente relacionadas y aun así marcar una correlación de cero. El caso clásico: sea $Y = X^2$ con $X$ simétrica en torno a cero. Conforme $X$ oscila de negativo a positivo, $Y$ traza una U perfecta —una relación impecable— y, sin embargo, por cada desviación positiva en $X$ hay una negativa igual y opuesta que produce el mismo $Y$, así que los productos de la covarianza se cancelan a cero. La correlación informa de «sin relación» sobre una relación que podríais dibujar con los ojos cerrados. Una $\rho$ cercana a cero significa sin vínculo lineal —no significa independiente—.

Juntándolo todo

La covarianza plantea la pregunta fundacional de dos variables —¿se mueven juntas estas?— pero responde en unidades ininterpretables, así que la estandarizamos en correlación, una puntuación limpia en $[-1, +1]$. Empujad una recta por el diagrama de dispersión con mínimos cuadrados y extraéis beta (la pendiente, = $\mathrm{Cov}/\mathrm{Var}_{\text{mercado}}$, vuestra sensibilidad al mercado y riesgo sistemático del CAPM) y alfa (la ordenada, vuestro rendimiento independiente del mercado). El R² ($=\rho^2$ en una regresión simple) informa de cuánta variación explica realmente la recta, con la parte no explicada viviendo en los residuos. Y sobre todo ello planea: la correlación no es causalidad, y solo ve rectas —así que dibujad la nube y exigid un mecanismo antes de apostar un dólar a un coeficiente—.

A continuación, el Teorema Central del Límite y la estimación —por qué la media de muchas variables aleatorias desordenadas colapsa hacia una pulcra campana normal, cómo ese único hecho justifica las fórmulas de error estándar detrás de todo intervalo de confianza y t-estadístico, y cómo pasamos de describir una muestra a inferir algo fiable sobre la población de la que salió—.