Probabilidad y variables aleatorias

Ya sabéis que el rendimiento de una acción el mes que viene es incierto —esa es la razón misma de que existan la volatilidad y el ratio de Sharpe—. Pero «incierto» es una sensación, no una herramienta. Para razonar de verdad sobre los rendimientos —para decir cuán probable es una caída del 5%, o si dos acciones se desploman juntas— necesitáis la gramática formal de la incertidumbre. Esa gramática es la probabilidad, y su personaje central es la variable aleatoria: un número cuyo valor lo decide el azar, como el rendimiento de mañana. Esta lección construye ese vocabulario desde cero para que toda lección de estadística posterior pise sobre suelo firme.

Los ladrillos: espacio muestral, sucesos, axiomas

Analogía. Antes de hablar de apuestas en un casino, acordáis el tablero: una ruleta tiene 37 casillas, un dado tiene 6 caras. La probabilidad empieza igual —anotando todos los resultados que podrían ocurrir, y luego haciendo apuestas honestas sobre grupos de ellos—.

Definiciones, en orden.

• El espacio muestral, escrito $\Omega$, es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento de azar. Para una tirada de dado, $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$. Para «¿cerró el mercado al alza o a la baja hoy?», $\Omega = \{\text{alza}, \text{baja}\}$.
• Un resultado es un único elemento de $\Omega$ —una forma específica en que el mundo podría resultar—.
• Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral —un grupo de resultados que os interesa—. «El dado muestra un número par» es el suceso $\{2,4,6\}$. «El mercado subió al menos un 1%» también es un suceso. Los sucesos son las cosas a las que asignamos probabilidades.
• Una probabilidad $P(A)$ es un número asociado a cada suceso $A$, que mide cuán probable es.

Esas probabilidades no se pueden asignar al azar. Deben obedecer los tres axiomas de Kolmogórov —las reglas mínimas que hacen coherente a la probabilidad—:

1. No negatividad. $P(A) \ge 0$ para todo suceso. No podéis tener una probabilidad de «−20%» de perder dinero.
2. Normalización. $P(\Omega) = 1$. Algo del espacio muestral ocurre con certeza —la probabilidad total es exactamente uno—.
3. Aditividad. Si dos sucesos $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes (no comparten resultados, así que no pueden ocurrir a la vez), entonces $P(A \text{ o } B) = P(A) + P(B)$. La probabilidad de sacar un 1 o un 2 es $\tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{3}$.

Ejemplo resuelto. Un dado justo. El suceso «par» es $\{2,4,6\}$, tres de los seis resultados igualmente probables, así que $P(\text{par}) = \tfrac{3}{6} = 0{,}5$. El suceso «sale un 5» es un resultado, $P = \tfrac{1}{6} \approx 0{,}167$. ¿Son «par» y «sale un 5» mutuamente excluyentes? Sí —el 5 es impar, así que los dos sucesos no comparten nada—. Por aditividad, $P(\text{par o 5}) = 0{,}5 + 0{,}167 = 0{,}667$, que es exactamente $\tfrac{4}{6}$ —los cuatro resultados $\{2,4,5,6\}$—. La aritmética coincide con el simple recuento, que es justo el objetivo: los axiomas son mera contabilidad que nunca deja que vuestras apuestas se contradigan.

Dos formas de leer una probabilidad. ¿Qué significa siquiera $P(\text{lluvia}) = 0{,}3$? Hay dos respuestas honestas, y las finanzas usan ambas:

• La lectura frecuentista: la probabilidad es la frecuencia a largo plazo de un suceso a lo largo de muchas repeticiones independientes. Si pudierais repetir «este tipo de día» mil veces, llovería en unos 300. Una moneda tiene $P(\text{cara}) = 0{,}5$ porque, en millones de lanzamientos, la mitad caen cara.
• La lectura bayesiana: la probabilidad es un grado de creencia —cuán confiado está un agente racional, dada la información que tiene—. «Hay un 30% de probabilidad de que esta fusión se cierre» no puede ser una frecuencia a largo plazo (la fusión ocurre una vez), así que es una creencia, actualizada según llegan noticias.

Ambas obedecen los mismos tres axiomas, por lo que la matemática no se preocupa de qué interpretación sostengáis. Nos inclinaremos a lo frecuentista cuando haya datos repetibles (rendimientos) y a lo bayesiano cuando no los haya (sucesos únicos).

Condicionar e independencia: ¿se mueven juntas dos acciones?

Analogía. Enteraros de que está nublado cambia vuestra apuesta sobre la lluvia —habéis estrechado el mundo a «días nublados» y os habéis vuelto a hacer la pregunta dentro de ese mundo más pequeño—. La probabilidad condicional es justo eso: recalcular una probabilidad después de que os digan que otro suceso ocurrió.

Definición. La probabilidad condicional de $A$ dado $B$, escrita $P(A \mid B)$, es la probabilidad de que $A$ ocurra una vez que sabéis que $B$ ha ocurrido:

Encogéis el espacio muestral hasta $B$ (el nuevo mundo «cierto») y preguntáis qué fracción de ese mundo tiene también $A$. El denominador $P(B)$ renormaliza para que las probabilidades condicionales sigan sumando uno dentro de $B$.

Reordenando se obtiene la regla de la multiplicación —la probabilidad de que ocurran ambos—:

Independencia. Dos sucesos son independientes cuando conocer uno no os dice nada del otro: $P(A \mid B) = P(A)$. Condicionar no movió la aguja. Metedlo en la regla de la multiplicación y la independencia se reduce a una prueba limpia:

Ejemplo resuelto — dos acciones. Supongamos que un día cualquiera la acción $A$ cae con probabilidad $P(A) = 0{,}4$ y la acción $B$ cae con probabilidad $P(B) = 0{,}5$. Observamos además que ambas caen el 30% de los días, así que $P(A \text{ y } B) = 0{,}3$. ¿Son independientes sus desplomes?

Si las acciones fueran independientes, ambas caerían solo el 20% de los días. Observamos el 30% —más de lo que predice la independencia—. Y $P(A \mid B) = 0{,}6$, muy por encima del $P(A) = 0{,}4$ incondicional: enteraros de que $B$ cayó eleva vuestra estimación de que $A$ cayó del 40% al 60%. Estas acciones son positivamente dependientes —tienden a desplomarse juntas—. Ese movimiento conjunto es precisamente lo que mide la correlación y de lo que la diversificación trata de escapar; aquí hemos mostrado la dependencia directamente, sin calcular jamás una correlación.

Variables aleatorias: convertir resultados en números

Analogía. Un espacio muestral puede ser un caos —«alza/baja», «cara/cruz», una maraña de estados del mercado—. Una variable aleatoria es un traductor que clava un número en cada resultado, para que podáis hacer aritmética con el azar en vez de solo enumerar escenarios.

Definición. Una variable aleatoria (VA) es una función que asocia a cada resultado del espacio muestral un número real. Escribimos las VA con letras mayúsculas: sea $X$ «el número de caras en dos lanzamientos de moneda», o sea $R$ «el rendimiento de esta acción el mes que viene». El resultado es aleatorio, así que el número $X$ o $R$ también lo es —de ahí el nombre—.

Las VA vienen en dos sabores, y la distinción dirige todo lo que sigue:

• Una VA discreta toma valores de una lista numerable —podéis enumerarlos, a menudo con huecos entre ellos—. El número de caras en dos lanzamientos es $\{0, 1, 2\}$. El número de impagos en una cartera de bonos es $\{0, 1, 2, \dots, N\}$. Una calificación crediticia codificada como $\{1,2,3,4,5\}$.
• Una VA continua puede tomar cualquier valor en un rango —un continuo no numerable sin huecos—. El rendimiento de una acción puede ser en principio $7\%$, $7{,}0001\%$, o cualquier número real cercano. El tiempo, el precio y el rendimiento son las cantidades continuas clásicas en finanzas.

Un rendimiento como VA continua. Modelad un rendimiento mensual $R$ como continuo —puede caer en cualquier punto de una escala suave—. Esto tiene una consecuencia aguda y algo inquietante: la probabilidad de que $R$ sea exactamente un valor concreto, digamos precisamente $5{,}000000\%$, es cero. No «pequeña» —cero—. Hay infinitos números reales apiñados en torno al 5%, así que ninguno puede cargar probabilidad positiva sin que el total se dispare por encima de 1. Para las VA continuas, la probabilidad solo tiene sentido sobre intervalos: $P(4\% \le R \le 6\%)$ es un número sensato y positivo, mientras que $P(R = 5\%)$ no lo es. Guardad esa idea —es la clave de la siguiente sección—.

Distribuciones: función de masa, densidad y distribución

Una variable aleatoria no queda descrita del todo hasta que decís cómo se reparte su probabilidad entre sus valores. Ese reparto es su distribución, y cómo lo escribís depende de si la VA es discreta o continua.

Discreta: la función de masa de probabilidad (FMP)

Para una VA discreta, la función de masa de probabilidad $p(x) = P(X = x)$ da la probabilidad de cada valor individual. Es una lista de masas puntuales: una altura sobre cada valor que la VA puede tomar. Como algún valor debe ocurrir, las masas suman uno: $\sum_x p(x) = 1$ (el axioma 2 disfrazado).

Ejemplo resuelto. Dos lanzamientos de moneda justos, $X$ = número de caras. Los cuatro resultados igualmente probables son XX, XC, CX, CC, así que:

Las masas suman $0{,}25 + 0{,}50 + 0{,}25 = 1$. ✓ Para obtener la probabilidad de un suceso, sumáis las masas relevantes: $P(X \ge 1) = p(1) + p(2) = 0{,}75$.

Continua: la función de densidad de probabilidad (FDP)

Una VA continua no puede tener masa en cada valor —acabamos de ver $P(R = 5\%) = 0$—. En cambio tiene una función de densidad de probabilidad $f(x)$: una curva suave donde la probabilidad es el área debajo, no la altura. La densidad $f(x)$ no es una probabilidad (incluso puede superar 1); solo lo es el área sobre un intervalo:

El área total bajo toda la curva es exactamente 1 —de nuevo la normalización—. Por eso un único punto tiene probabilidad cero: el área sobre una franja de anchura cero es cero. Las curvas con forma de campana de abajo son FDP de rendimientos; la probabilidad es el área sombreada situada entre dos valores de rendimiento.

Ambas: la función de distribución acumulada (FDA)

La función de distribución acumulada $F(x) = P(X \le x)$ responde a una pregunta universal —«¿cuál es la probabilidad de caer en $x$ o por debajo?»— y funciona igual para VA discretas y continuas. Empieza en 0 en el extremo izquierdo, sube hasta 1 en el extremo derecho y nunca decrece (cubrir más terreno solo puede añadir probabilidad). Para una VA continua, $F(x)$ es el área acumulada bajo la FDP hasta $x$; para una VA discreta, es la suma acumulada de masas, escalonándose en cada valor.

Ejemplo resuelto. Para la $X$ de los dos lanzamientos de arriba: $F(0) = 0{,}25$, $F(1) = 0{,}25 + 0{,}50 = 0{,}75$ y $F(2) = 1{,}00$. Para obtener la probabilidad de un intervalo restáis: $P(X \le 2) - P(X \le 0) = 1{,}00 - 0{,}25 = 0{,}75 = P(X \ge 1)$, coincidiendo con la respuesta de la FMP. Para rendimientos, el mismo truco da cualquier intervalo: $P(a \le R \le b) = F(b) - F(a)$. La FDA es la herramienta de batalla para «¿cuál es la probabilidad de una pérdida peor que $-10\%$?» —es simplemente $F(-10\%)$—.

Esperanza: la media ponderada por probabilidad

Analogía. Si jugarais una apuesta un millón de veces, ¿en qué media se asentaría vuestro pago? Esa media a largo plazo es la esperanza (o valor esperado, o media) de la variable aleatoria —el centro de gravedad de la distribución, el punto de equilibrio de la FMP o la FDP—.

Definición. Para una VA discreta, la esperanza $E[X]$ es cada valor ponderado por su masa de probabilidad y sumado:

Para una VA continua la suma se vuelve una integral contra la densidad, $E[X] = \int x\,f(x)\,dx$, pero la idea es idéntica: cada valor posible, ponderado por cuán probable es. No es una media simple de los valores —un valor el doble de probable tira de la media el doble de fuerte—.

Ejemplo resuelto. Una apuesta paga $10 con probabilidad 0,2, $0 con probabilidad 0,5 y os cuesta $4 (un pago de $-4$) con probabilidad 0,3. El pago esperado es cada resultado por su probabilidad, sumado:

$E[X] = 2{,}0 + 0{,}0 - 1{,}2 = 0{,}8$, es decir, +$0,80 por jugada de media. Fijaos en que la esperanza ($0,80) es un valor que la apuesta nunca paga realmente —ningún resultado individual es $0,80—. Eso es normal: la media es un punto de equilibrio, no una predicción de ninguna jugada concreta. Aplicada a los rendimientos, $E[R]$ es el rendimiento esperado que ya conocisteis en el curso de métricas —ahora podéis ver que es literalmente la media ponderada por probabilidad de todos los rendimientos que la acción podría entregar—.

Esto es solo la rampa de entrada. Una lección posterior da a la esperanza el tratamiento completo —su álgebra (linealidad), su socia la varianza (que es ella misma una esperanza de desviaciones al cuadrado, y la hermana al cuadrado de la volatilidad que ya conocéis), y cómo ambas impulsan la matemática de carteras—.

Juntándolo todo

La probabilidad es la gramática de la incertidumbre, y toda lección de estadística posterior la habla. Empezáis con un espacio muestral de resultados, los agrupáis en sucesos y asignáis probabilidades que obedecen tres axiomas —no negatividad, normalización y aditividad— que mantienen toda apuesta entre 0 y 1 e internamente coherente. Condicionar ($P(A \mid B)$) vuelve a plantear una probabilidad dentro de un mundo más pequeño, y la independencia es el caso especial en que condicionar no cambia nada —la lente con la que juzgamos si dos acciones se desploman juntas—. Una variable aleatoria traduce resultados en números (recuentos discretos frente a rendimientos continuos), su distribución reparte la probabilidad entre esos números (FMP para masas, FDP para área bajo la densidad, FDA para «en o por debajo»), y su esperanza es el punto de equilibrio ponderado por probabilidad —la definición formal del rendimiento esperado que veníais usando desde el principio—.

A continuación —la estadística descriptiva—: ahora que los rendimientos son variables aleatorias con distribuciones, aprenderemos a resumir un montón de ellos con la media, la varianza y la desviación típica (el hogar formal de la volatilidad que ya usáis), y luego iremos más lejos hacia la asimetría y la curtosis —la forma de las colas gruesas que decide cuán peligrosa es de verdad una distribución de rendimientos—.