Muestreo, el TCL y la estimación

Nunca llegáis a ver la verdad completa. No podéis observar la rentabilidad esperada verdadera de una estrategia — solo tenéis el puñado de meses que de verdad operó. No podéis medir la volatilidad verdadera de una acción — tenéis un tramo finito de precios diarios y os toca adivinar. Toda la finanza empírica es un largo acto de entornar los ojos ante una muestra intentando inferir la población que hay detrás. Esta lección va de hacer ese entornar los ojos con honradez: cómo un número que calculáis a partir de datos (un estadístico) se relaciona con el número que de verdad os importa (un parámetro), cuánto puede equivocarse ese número, y cómo ponerle un margen de error honesto.

El remate es uno de los teoremas más útiles de toda la matemática aplicada — el Teorema Central del Límite — y uno de los objetos peor citados de las finanzas: el intervalo de confianza. Vamos a ganarnos los dos.

Población frente a muestra: estimador y estimando

Analogía. La población es el océano entero; vuestra muestra es el cubo que metisteis. Queréis conocer la salinidad media del océano (un número fijo pero incognoscible), así que medís vuestro cubo y confiáis en que sea representativo. La salinidad del cubo es vuestra estimación; la del océano es la verdad.

El vocabulario. Un parámetro es un número fijo, normalmente desconocido, que describe toda la población — la media verdadera $\mu$, la varianza verdadera $\sigma^2$. Lo que intentáis aprender se llama el estimando. Un estadístico es cualquier número que calculáis a partir de vuestra muestra — la media muestral $\bar{x}$, la varianza muestral $s^2$. Cuando un estadístico se usa para estimar un parámetro, lo llamamos estimador, y el número concreto que arroja es una estimación.

La notación habitual es un contrato silencioso: las letras griegas ($\mu$, $\sigma$, $\rho$) son las cantidades poblacionales verdaderas; las letras latinas o los símbolos con sombrero ($\bar{x}$, $s$, $\hat{\mu}$) son las estimaciones muestrales de ellas. La media muestral es

y es nuestro estimador de la media poblacional $\mu$.

Ejemplo resuelto. Un fondo publica rentabilidades mensuales a lo largo de cinco meses: $2\%, -1\%, 3\%, 0\%, 1\%$. La media muestral es $\bar{x} = (2 - 1 + 3 + 0 + 1)/5 = 5/5 = 1\%$. Ese $1\%$ es vuestra estimación de la rentabilidad esperada mensual verdadera $\mu$ del fondo. ¿Es $\mu$ de verdad $1\%$? Casi seguro que no exactamente — cinco meses son un dedal de datos. Pero $1\%$ es vuestra mejor conjetura única con lo que tenéis.

La distribución muestral: vuestra estimación es una variable aleatoria

Analogía. Imaginad que vosotros y otros 999 analistas metéis cada uno, de forma independiente, un cubo en el mismo océano y reportáis su salinidad. Obtendríais 1.000 números distintos, dispersos alrededor del valor verdadero. Dibujad esos números como un histograma y tenéis la distribución muestral — la distribución de la estimación en sí, a lo largo de todas las muestras que podríais haber tomado.

La idea clave. Aquí está el salto conceptual que descoloca a todo el mundo la primera vez: la media muestral $\bar{x}$ es ella misma una variable aleatoria. Antes de recoger datos, no sabéis qué valor tomará — depende de qué extracciones concretas caigan en vuestra muestra. Así que, como cualquier variable aleatoria (recordad la lección 2), tiene su propia distribución, su propia media y su propia dispersión. Tomar una única muestra os da una extracción de esa distribución muestral.

Dos hechos fijan la distribución muestral de la media cuando tomáis $n$ observaciones independientes de una población con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$:

• Su centro es la media verdadera: $\mathbb{E}[\bar{x}] = \mu$. En promedio, la media muestral acierta — no se inclina sistemáticamente ni alto ni bajo.
• Su dispersión se encoge a medida que recogéis más datos: $\mathrm{Var}(\bar{x}) = \sigma^2/n$. Promediar cancela el ruido.

Ese segundo hecho es el motor de toda la estadística: más datos estrechan vuestra estimación. El histograma de medias muestrales se hace cada vez más estrecho a medida que crece $n$, cerrándose sobre la verdad.

El Teorema Central del Límite: las medias se vuelven normales

Analogía. Tirad un dado y los resultados son planos — del $1$ al $6$ son todos igual de probables, nada de forma de campana. Ahora promediad treinta dados. De repente los totales cercanos al medio ($\sim 3{,}5$) son abrumadoramente más comunes que los extremos, y el histograma de esas medias es una campana preciosa — aunque un solo dado sea lo menos acampanado que existe. El propio promediar fabrica la campana.

El teorema. El Teorema Central del Límite (TCL) dice: si promediáis $n$ extracciones independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.) de casi cualquier población con media $\mu$ y varianza $\sigma^2$ finitas, entonces a medida que crece $n$ la distribución muestral de la media se aproxima a una distribución normal — sea cual sea la forma del progenitor. Formalmente,

El progenitor puede ser asimétrico, plano, grumoso, bimodal — da igual. Promediad suficientes extracciones i.i.d. y la media es aproximadamente normal, centrada en $\mu$ con varianza $\sigma^2/n$. Por esto la distribución normal de la lección 2 aparece por todas partes: la mayoría de las magnitudes que nos importan son en secreto sumas o medias de muchos efectos pequeños e independientes.

Por qué las finanzas se apoyan en él constantemente. Una rentabilidad mensual es a grandes rasgos la suma de muchas rentabilidades diarias; una rentabilidad diaria es la suma de muchos movimientos tick a tick. Agregad suficientes choques pequeños y el TCL empuja el agregado hacia lo normal — que es justo por lo que tantos modelos (el VaR paramétrico, la teoría de carteras, la inferencia de regresión) echan mano de la campana. El TCL es también lo que nos permite poner intervalos de confianza basados en lo normal a una media muestral aunque las rentabilidades individuales no sean normales.

Error estándar: la dispersión de vuestra estimación

Analogía. La desviación típica $\sigma$ os dice cuánto rebota una única rentabilidad. El error estándar os dice cuánto rebota vuestra estimación de la media. Uno es el temblor de un solo dardo; el otro, el temblor de la diana que calcularíais promediando muchos dardos. Son animales distintos, y confundirlos es uno de los errores más comunes de la estadística aplicada.

Definición. El error estándar de la media (SE) es la desviación típica de la distribución muestral de $\bar{x}$. Como $\mathrm{Var}(\bar{x}) = \sigma^2/n$, sacando la raíz cuadrada queda

En la práctica no conocéis la $\sigma$ verdadera, así que metéis la desviación típica muestral $s$ y usáis $\mathrm{SE} \approx s/\sqrt{n}$. El rasgo definitorio: el SE cae con $\sqrt{n}$, no con $n$. Para dividir entre dos vuestro error estándar necesitáis cuatro veces los datos; para reducirlo diez veces necesitáis cien veces más observaciones. La precisión es cara.

Ejemplo resuelto. Las rentabilidades mensuales de un fondo tienen una desviación típica muestral $s = 4\%$. ¿Con qué precisión conocemos su rentabilidad media en distintos tamaños muestrales?

Cuadruplicar los datos de 9 a 36 meses divide entre dos el SE ($1{,}33\% \to 0{,}67\%$); cuadruplicar otra vez hasta 144 meses lo divide entre dos una vez más. Fijaos en la economía brutal: pasar de 9 a 144 meses — dieciséis veces los datos — solo encoge el SE por un factor de $4$. Ese es el impuesto del $\sqrt{n}$, y es por lo que estimar la ventaja verdadera de un fondo a partir de unos pocos años de datos es tan exasperantemente impreciso.

Calidad de la estimación: sesgo, consistencia, eficiencia y MLE

No todos los estimadores son iguales. Tres propiedades os dicen si una receta para estimar un parámetro vale algo.

Sesgo — ¿apunta certero? Un estimador es insesgado si su distribución muestral está centrada en el parámetro verdadero: $\mathbb{E}[\hat{\theta}] = \theta$. Un estimador sesgado falla sistemáticamente por arriba o por abajo por muchos datos que le metáis. Ejemplo clásico: la varianza muestral divide entre $n-1$ en lugar de $n$ precisamente para eliminar un sesgo a la baja — dividir entre $n$ subestimaría sistemáticamente $\sigma^2$.

Consistencia — ¿converge? Un estimador es consistente si converge al parámetro verdadero cuando $n \to \infty$. La media muestral es consistente: su SE es $\sigma/\sqrt{n}$, que tiende a cero, así que con datos infinitos clava $\mu$ con exactitud. La consistencia es el chequeo mínimo de cordura — un estimador que no mejora con más datos no vale nada.

Eficiencia — ¿desperdicia datos? Entre los estimadores insesgados, el eficiente es el de menor varianza — exprime la mayor precisión de cada observación. Dados dos estimadores insesgados, preferid el más estrecho; os lleva a una confianza dada con menos datos.

Analogía para las tres. Imaginad una diana. El sesgo es si vuestros tiros se agrupan alrededor del centro o ladeados. La eficiencia es cuán apretados se agrupan. La consistencia es si lanzar más y más dardos acaba arrastrando el grupo hasta el centro. El estimador soñado es insesgado (centrado), eficiente (apretado) y consistente (converge).

Máxima Verosimilitud (MLE) — la receta universal. ¿De dónde salen los buenos estimadores? La respuesta de cabecera es la Estimación por Máxima Verosimilitud: elegid los valores de los parámetros que hacen más probables los datos que de verdad observasteis. Escribís la probabilidad de vuestra muestra observada como función de los parámetros desconocidos — la verosimilitud — y luego giráis los parámetros hasta lo que la maximice.

Intuición. Suponed que visteis rentabilidades agrupadas en torno al $1\%$ con dispersión moderada. De todas las distribuciones normales que podrían haber generado esos datos, ¿cuál los hace menos sorprendentes? La centrada en $\approx 1\%$ con una anchura que case con la dispersión observada. La MLE formaliza «los parámetros que mejor explican lo que vi» — y para datos normales recupera exactamente la media muestral y (una versión de) la varianza muestral. Es el motor tras los modelos de volatilidad GARCH, la regresión logística y la mayoría de la estimación de las finanzas cuantitativas.

Intervalos de confianza: un rango, y lo que de verdad significa

Analogía. Una estimación puntual es un tiro de dardo; un intervalo de confianza es admitir que el dardo tiene dispersión y dibujar un círculo alrededor de donde cayó. En vez de afirmar «la media verdadera es exactamente $1\%$» — que casi seguro está mal hasta el decimal — decís «la media verdadera está plausiblemente en algún punto de esta banda», y declaráis cuán confiado está el procedimiento de dibujar la banda.

Definición. Apoyándose en el TCL (que vuelve $\bar{x}$ aproximadamente normal), un intervalo de confianza al 95% para la media es

Ese $1{,}96$ es el mismo número mágico de la distribución normal de la lección 2: el $95\%$ de la masa de una normal está a menos de $1{,}96$ desviaciones típicas de su centro, dejando un $2{,}5\%$ en cada cola. Ensanchad a una confianza del $99\%$ y estiráis el multiplicador a $2{,}576$; cuanto más confiados os empeñéis en estar, más ancho será el intervalo que debéis aceptar.

Ejemplo resuelto. Nuestro fondo tenía $\bar{x} = 1\%$ mensual. Suponed que a lo largo de $n = 36$ meses su SE sale $0{,}67\%$ (de $s = 4\%$, de antes). El intervalo de confianza al 95% es

es decir, aproximadamente $[-0{,}31\%,\; 2{,}31\%]$. Leedlo con cuidado: incluso tras tres años de datos, no podemos descartar que la ventaja mensual verdadera del fondo sea negativa. El intervalo abarca el cero — un recordatorio sobrio de lo poco que unos pocos años de rentabilidades fijan en realidad.

Atándolo todo

Todo número empírico de las finanzas es una estimación entornando los ojos ante una verdad oculta. Un estadístico calculado a partir de una muestra estima un parámetro poblacional fijo; como depende de qué datos os tocó extraer, el estadístico es él mismo una variable aleatoria con una distribución muestral. El Teorema Central del Límite os dice que esa distribución es aproximadamente normal para medias de suficientes datos i.i.d. — y por eso la campana ronda toda la finanza cuantitativa. El error estándar $\sigma/\sqrt{n}$ mide cuán ajustada es vuestra estimación (y no es la desviación típica de los datos). Los buenos estimadores son insesgados, consistentes y eficientes, y la MLE es la receta universal para construirlos. Por último, un intervalo de confianza envuelve vuestra estimación en un margen honesto — siempre que citéis lo que de verdad significa: una propiedad del procedimiento, no una probabilidad sobre vuestro único intervalo.

A continuación — el contraste de hipótesis — dejamos de meramente estimar un número y empezamos a interrogarlo: ¿la rentabilidad media positiva de este fondo es ventaja real, o solo ruido que un intervalo de confianza no puede descartar? Conoceremos las hipótesis nula y alternativa, el valor p, las dos formas distintas de equivocarse, y la trampa propia de las finanzas que invalida en silencio la mayoría de los backtests: contrastar mil estrategias y coronar a la más afortunada.