La fórmula del riesgo de ruina

Tenemos una ventaja (esperanza) y sabemos que el tamaño de apuesta importa. Ahora ponemos un número a la supervivencia. La fórmula del riesgo de ruina convierte tres ingredientes — tu ventaja, tus probabilidades de pago y cuántas unidades de riesgo mantiene tu capital — en una única probabilidad de quebrar. Su lección más importante es geométrica: la ruina no cae linealmente a medida que acumulas capital, cae exponencialmente, que es por lo que un poco de colchón extra compra una enorme cantidad de seguridad. La derivaremos, trabajaremos varios ejemplos, y conoceremos la idea de las unidades-de-riesgo que la hace utilizable.

Unidades de riesgo: la forma correcta de contar un capital

Analogía. No cuentes tu capital en euros — cuéntalo en vidas, como un videojuego. Si cada apuesta arriesga una vida y tienes 20 vidas, puedes sobrevivir una larga racha de mala suerte antes del «fin de la partida». Una cuenta de más euros que apuesta enorme por operación podría tener solo 3 vidas; una cuenta más pequeña que apuesta diminuto podría tener 50. La supervivencia va de vidas, no de euros.

Definición. Una unidad de riesgo es la cantidad que pones en riesgo en una apuesta (una R, de la lección anterior). Las unidades de capital de tu capital son $N = \frac{\text{capital}}{\text{riesgo por apuesta}}.$ Este único número — cuántas apuestas perdedoras seguidas hacen falta para aniquilarte — es de lo que depende realmente la fórmula del riesgo de ruina. La ventaja fija la inclinación del paseo; $N$ fija cuán lejos están los muros del inicio.

Ejemplo resuelto. Una cuenta de 50.000 € que arriesga 1.000 € por operación tiene $N = 50.000 / 1.000 = 50$ unidades. La misma cuenta arriesgando 5.000 € por operación tiene $N = 10$ unidades. Mismos euros, misma ventaja — cinco veces menos «vidas», y (veremos) un riesgo de ruina enormemente más alto. El dimensionamiento de posiciones es la elección de $N$.

La fórmula clásica

La versión más limpia es para una apuesta a dinero parejo (ganas o pierdes una unidad cada vez) con probabilidad de acierto $p$ y probabilidad de pérdida $q = 1 - p$.

Definición. Para un capital de $N$ unidades, la probabilidad de ruina eventual (tocar 0 antes de crecer sin cota) es $\text{RoR} = \left(\frac{q}{p}\right)^{N} = \left(\frac{1-p}{p}\right)^{N},$ válida cuando tienes una ventaja ($p > 0,5$, así que $q/p < 1$). Si $p \le 0,5$ el ratio $q/p \ge 1$ y la ruina es segura (RoR = 1) — ninguna cantidad de capital salva un juego sin ventaja contra un horizonte sin cota, el resultado de la ruina del jugador disfrazado.

La geometría. $q/p$ es un número menor que 1 (porque tienes una ventaja), y lo estás elevando a la $N$-ésima potencia. Elevar una fracción a potencias más altas la aplasta hacia cero rápido. Ese es el decaimiento exponencial: cada unidad extra de capital multiplica tu probabilidad de ruina por $q/p$ otra vez.

Ejemplo resuelto 1. Apuesta a dinero parejo, probabilidad de acierto $p = 0,55$, así que $q = 0,45$ y $q/p = 0,45/0,55 = 0,818$.

• Con $N = 5$ unidades: $\text{RoR} = 0,818^5 \approx 0,366$ — un 37 % de probabilidad de ruina. Aterrador, para una ventaja real.
• Con $N = 10$ unidades: $\text{RoR} = 0,818^{10} \approx 0,134$ — 13 %.
• Con $N = 20$ unidades: $\text{RoR} = 0,818^{20} \approx 0,018$ — 1,8 %.
• Con $N = 40$ unidades: $\text{RoR} = 0,818^{40} \approx 0,0003$ — 0,03 %.

Mira el patrón: cada duplicación de $N$ más o menos eleva al cuadrado la probabilidad de ruina (0,37 → 0,13 → 0,018 → 0,0003). Duplicar tu capital-en-unidades no reduce la ruina a la mitad — la eleva al cuadrado. El capital es la palanca exponencial; la ventaja solo fija la base.

Añadir un ratio de pago: la fórmula general

Los sistemas reales no ganan y pierden la misma cantidad. La fórmula general del riesgo de ruina de fracción fija pliega el ratio de pago $b$ (ganancia media ÷ pérdida media, en R) junto a la probabilidad de acierto $p$.

Definición (aproximación basada en Kelly). Una forma cerrada muy usada expresa la ruina en términos de la ventaja por unidad arriesgada y la fracción de capital arriesgada por operación $f$. Con esperanza por apuesta (en R) $a = E_R$ y varianza por apuesta $v$, y arriesgando una fracción $f$ del capital por unidad, la aproximación continua para la ruina partiendo del capital completo es $\text{RoR} \approx \exp\!\left(-\frac{2\,a\,N}{v / E_R}\right)\quad\text{(esquemáticamente: la ruina} \downarrow \text{cuando la ventaja} \uparrow \text{y cuando } N \uparrow).$ El álgebra exacta varía según el modelo, pero cada versión comparte la misma estructura de dos perillas: la ruina cae cuando la ventaja crece y cuando las unidades de capital crecen, y cae exponencialmente en su producto. No necesitas memorizar una forma cerrada concreta; necesitas la forma.

Una perilla práctica más limpia — el enlace de Kelly. Si apuestas una fracción fija $f$ de tu capital y tu fracción de Kelly completo es $f^*$, entonces apostar fracción-de-Kelly $k = f/f^*$ tiene una elegante relación de ruina a largo plazo (caída-a-una-fracción): la probabilidad de que tu capital caiga alguna vez a una fracción $x$ de su inicio es aproximadamente $P(\text{caer alguna vez a } x) \approx x^{\,(2/k) - 1}.$ Así que con Kelly completo ($k=1$) la probabilidad de reducirse a la mitad alguna vez es $\approx (0,5)^1 = 50\%$ — Kelly completo es brutal. Con medio Kelly ($k=0,5$) es $\approx (0,5)^3 = 12,5\%$. Con cuarto de Kelly ($k=0,25$) es $\approx (0,5)^7 \approx 0,8\%$. Apostar fracciones más pequeñas de Kelly recorta la probabilidad de caída profunda (y ruina) de forma superlineal — la misma palanca exponencial, vista a través de Kelly.

Ejemplo resuelto. Apuestas medio Kelly ($k = 0,5$). Probabilidad de sufrir alguna vez una caída del 75 % (caer a $x = 0,25$ del inicio): $\approx 0,25^{(2/0,5)-1} = 0,25^{3} = 0,0156$, alrededor del 1,6 %. Con Kelly completo la misma probabilidad de caída del 75 % es $\approx 0,25^{(2/1)-1} = 0,25^1 = 25\%$ — dieciséis veces peor. Reducir a la mitad tu fracción de Kelly apenas hace mella en tu tasa de crecimiento (cuesta alrededor del 25 % del crecimiento) pero recorta el riesgo de caída catastrófica en un orden de magnitud. Por eso nadie en su sano juicio apuesta Kelly completo.

Leer la fórmula como un gestor de riesgos

Qué te dice que hagas

• Añade unidades, no solo ventaja. Una ventaja modesta con capital profundo (N alto) bate una ventaja fuerte ejecutada sobre una cuenta delgada. La supervivencia se compra principalmente con $N$ — es decir, apostando fracciones más pequeñas.
• Apuesta una fracción de Kelly. Medio o cuarto de Kelly cuesta poco crecimiento y recorta el riesgo de caída/ruina superlinealmente. El estándar profesional por defecto es medio Kelly o menos.
• Somete las entradas a estrés. Recalcula el RoR con una ventaja pesimista (digamos, el 70 % de tu estimación) para ver cuán frágil es tu supervivencia a estar equivocado.

Cuándo la fórmula simple se rompe

• Ventaja no estacionaria. Si $p$ deriva (cambio de régimen, decaimiento de alfa), un RoR estático es ficción. Las ventajas reales se desvanecen; la fórmula supone que no.
• Apuestas correlacionadas. La fórmula supone operaciones independientes. Si tus posiciones se mueven juntas (todo largo en tecnología), una «racha de pérdidas» es en realidad una gran pérdida correlacionada, y el $N$ efectivo se desploma.
• Colas gruesas / huecos. Un salto que atraviesa tu stop significa que una sola «pérdida» puede ser varias R, encogiendo $N$ inesperadamente — las próximas lecciones (caídas, secuencia, Monte Carlo) manejan exactamente estas arrugas del mundo real que la fórmula limpia pasa por alto.

Recapitulando

La fórmula del riesgo de ruina convierte ventaja, probabilidades y capital en una probabilidad de supervivencia. Cuenta tu capital en unidades de riesgo ($N =$ capital ÷ riesgo-por-apuesta) — el número de pérdidas consecutivas que puedes absorber — porque eso, no los euros brutos, es de lo que se basa la fórmula. Para una ventaja a dinero parejo la forma limpia es $\text{RoR} = (q/p)^N$: una fracción por debajo de 1 elevada a la potencia de tus unidades, lo que significa que la ruina decae exponencialmente — cada duplicación de $N$ más o menos eleva al cuadrado (encoge) la probabilidad de ruina. La versión general pliega el ratio de pago pero mantiene la misma forma: la ruina cae cuando la ventaja crece y cuando las unidades crecen, exponencialmente en su producto. La perilla práctica más limpia es el enlace de Kelly — el riesgo de caída profunda escala como $x^{(2/k)-1}$ — que es por lo que medio o cuarto de Kelly recorta el riesgo de catástrofe apenas haciendo mella en el crecimiento. Y todo número supone que conoces tu ventaja, así que apuesta más pequeño de lo que dice la fórmula, porque las arrugas reales (ventaja a la deriva, correlación, colas gruesas) todas hacen la ruina verdadera peor de lo que admiten las matemáticas limpias.

A continuación — distribuciones de caídas — dejamos de tratar la peor pérdida como un único número. La profundidad, la duración y el temido tiempo bajo el agua son todas variables aleatorias con sus propias distribuciones, y el mismo sistema ejecutado dos veces puede entregarte dos peores casos muy distintos.