La esperanza y la ventaja

El riesgo de ruina tiene dos entradas: cuánto de grande apuestas y cuán buena es tu ventaja. La lección anterior vimos que el tamaño de apuesta puede hundir incluso un sistema ganador. Esta lección clava la otra entrada — la ventaja misma — con el único número que resume si un sistema gana dinero siquiera: la esperanza. La construiremos a partir de la tasa de aciertos y el pago, reformularemos cada operación en limpios múltiplos R para que una pérdida de 50 € y una de 5.000 € vivan en la misma regla, y descubriremos por qué un sistema que pierde la mayoría de sus operaciones aun así puede ser tremendamente rentable.

Esperanza: el beneficio medio por operación

Analogía. Imagina un juego de cara o cruz ligeramente sesgado en una feria. En cada jugada ganas cierta cantidad o pierdes cierta cantidad, con cierta probabilidad de cada una. La esperanza es lo que embolsarías por jugada si jugaras para siempre — la media a largo plazo. Pliega juntas con qué frecuencia ganas y cuánto ganas o pierdes en un único veredicto: por operación, ¿este sistema te alimenta o te desangra?

Definición. Para un sistema con probabilidad de acierto $p$, ganancia media $W$ y pérdida media $L$ (ambas como cantidades positivas), la esperanza por operación es $E = p \cdot W - (1 - p) \cdot L.$ El primer término es lo que aportan tus ganancias de media; el segundo es lo que cuestan tus pérdidas de media. Un sistema tiene una ventaja precisamente cuando $E > 0$.

Ejemplo resuelto 1 — el seguidor de tendencias. Un sistema seguidor de tendencias gana solo el $p = 0,40$ de las veces, pero su ganancia media es $W = 1.200$ € y su pérdida media es $L = 500$ €: $E = (0,40)(1.200) - (0,60)(500) = 480 - 300 = +220 \text{ € por operación}.$ Pierde 6 operaciones de cada 10, y aun así gana 220 € de media en cada una. A lo largo de 1.000 operaciones eso son unos 220.000 € de beneficio esperado — de un sistema que se equivoca la mayoría de las veces.

Ejemplo resuelto 2 — el vendedor de primas. Un sistema distinto gana el $p = 0,80$ de las veces (sienta de maravilla), pero sus ganancias son pequeñas, $W = 300$ €, y sus raras pérdidas son brutales, $L = 1.600$ €: $E = (0,80)(300) - (0,20)(1.600) = 240 - 320 = -80 \text{ € por operación}.$ Gana cuatro de cada cinco veces y aun así pierde dinero — la imagen de la cuenta subiendo casi todos los días esconde una ventaja negativa que el desastre ocasional más que borra. Tasa de aciertos alta, esperanza negativa.

Múltiplos R: una sola regla para cada operación

Las cantidades en euros hacen que las operaciones sean difíciles de comparar — una pérdida de 50 € en una cuenta diminuta y una de 5.000 € en una grande podrían ser el mismo riesgo. El arreglo es medirlo todo en unidades de la cantidad que arriesgaste. Esa unidad es R.

Definición. R es tu riesgo inicial en una operación — normalmente la distancia de la entrada a tu stop-loss, por el tamaño de posición — es decir, la cantidad que perderías si la operación va en tu contra y sales en el stop. El resultado de cada operación es entonces un múltiplo R: beneficio (o pérdida) dividido por R.

• Una operación que toca su stop pierde exactamente −1R.
• Una operación que gana tres veces tu riesgo inicial es +3R.
• Una operación cerrada antes por la mitad del riesgo es −0,5R.

Por qué esto es potente. Una vez que cada operación es un múltiplo R, el tamaño de posición desaparece y puedes comparar y combinar operaciones entre instrumentos, tamaños de cuenta y tiempo. La esperanza en R se convierte en la ventaja del sistema por unidad de riesgo: $E_R = p \cdot (\text{ganancia media en R}) - (1 - p) \cdot (\text{pérdida media en R}).$ Si siempre sales de las perdedoras en el stop, la pérdida media es exactamente 1R y la fórmula se simplifica a $E_R = p \cdot (\text{ganancia media en R}) - (1 - p)$.

Ejemplo resuelto. Un sistema a lo largo de 100 operaciones: 40 ganadoras promediando +2,5R, 60 perdedoras promediando −1R (todas tocan el stop). Esperanza en R: $E_R = (0,40)(2,5) - (0,60)(1) = 1,0 - 0,6 = +0,40\text{R por operación}.$ Léelo como: cada operación gana, de media, 0,4 veces lo que hayas elegido arriesgar. Arriesga 100 € por operación → +40 € esperados por operación. Arriesga 1.000 € → +400 €. La esperanza-R es la misma; solo tu R elegido escala los euros. Esta es la afirmación más limpia posible de una ventaja, y es exactamente la magnitud que la fórmula del riesgo de ruina consumirá la próxima lección.

Tasa de aciertos frente a ratio de pago: el gran compromiso

La esperanza tiene dos perillas, y se compensan entre sí. Entender su relación es lo que te libera de la tiranía de la tasa de aciertos.

Definición. El ratio de pago (o recompensa-riesgo) es la ganancia media dividida por la pérdida media: $b = \frac{W}{L} \quad(\text{o en R: } b = \text{ganancia media en R, cuando la pérdida media} = 1\text{R}).$ La esperanza en R es entonces $E_R = p \cdot b - (1 - p)$. Igualar $E_R = 0$ da la tasa de aciertos de equilibrio para un ratio de pago dado: $p_{\text{equilibrio}} = \frac{1}{1 + b}.$ Cualquier tasa de aciertos por encima de esta línea es rentable; por debajo, te desangras.

El compromiso en números. Esta única fórmula explica por qué funcionan sistemas tremendamente distintos:

Ejemplo resuelto. Un seguidor de tendencias gana solo el 30 % de las veces con un ratio de pago de $b = 4$. ¿Es rentable? Su tasa de aciertos de equilibrio es $1/(1+4) = 1/5 = 20\%$. Gana el 30 %, cómodamente por encima del 20 %, así que $E_R = 0,30 \times 4 - 0,70 = 1,2 - 0,7 = +0,5\text{R}$. Rentable — porque el ratio de pago le compró una barra de equilibrio baja. La misma tasa de aciertos del 30 % con un ratio de pago de 1 daría $0,30 - 0,70 = -0,4\text{R}$, un desastre. La tasa de aciertos no cambió; el ratio de pago lo decidió todo.

Cuándo usar cada lente

Cuándo usar la esperanza en euros

• Informar del P&L real y compararlo con costes, salarios o requisitos de capital — los euros son lo que paga las facturas.
• Comprobar la cordura de si una ventaja real es lo bastante grande como para importar tras comisiones y deslizamiento (resta los costes a W y súmalos a L antes de calcular E).

Cuándo usar múltiplos R

• Comparar sistemas entre instrumentos y tamaños de cuenta — R quita la escala.
• Alimentar la fórmula del riesgo de ruina (próxima lección), que quiere ventaja por unidad de riesgo, no euros brutos.
• Seguir un historial operación a operación sin que tu cambiante tamaño de cuenta distorsione el cuadro.

Trampa — las medias esconden la distribución

La esperanza es una media. Dos sistemas con una esperanza idéntica de +0,4R pueden tener riesgos de ruina totalmente distintos si uno tiene unas pocas ganadoras enormes (la mayoría de operaciones son pequeñas perdedoras) y el otro tiene ganancias modestas constantes. La misma media puede envolver un viaje suave o uno de nudillos blancos — que es justo por lo que las próximas lecciones pasan de la ventaja media a la distribución de resultados y la probabilidad de ruina.

Recapitulando

La esperanza es el veredicto por operación sobre una ventaja: $E = p \cdot W - (1-p) \cdot L$, positiva cuando el sistema gana dinero de media. Una tasa de aciertos alta por sí sola no prueba nada — un sistema con 80 % de aciertos puede tener esperanza negativa si sus raras pérdidas son suficientemente grandes. Los múltiplos R ponen cada operación en una sola regla midiendo los resultados en unidades de riesgo tomado (una perdedora con stop es −1R, una ganadora de triple riesgo es +3R), y la esperanza en R es la ventaja pura por unidad de riesgo que escala con lo que elijas arriesgar. El ratio de pago $b = W/L$ se compensa con la tasa de aciertos a través de la línea de equilibrio $p_{\text{equilibrio}} = 1/(1+b)$: los seguidores de tendencias superan una barra baja con raras ganancias enormes, los scalpers superan una barra alta con constantes ganancias pequeñas, y ambos pueden llevar ventajas idénticas. Juzga cada sistema contra su propio equilibrio, neto de costes — y recuerda que la esperanza es solo la media, que es por lo que la supervivencia (la distribución y el riesgo de ruina) es la historia que aún está por venir.

A continuación — la fórmula del riesgo de ruina — alimentamos esta ventaja a la ecuación de supervivencia clásica: cómo la probabilidad de acierto, las probabilidades de pago y el número de unidades de riesgo de tu capital se combinan en una probabilidad de quebrar, por qué la ruina cae exponencialmente a medida que mantienes más unidades de capital, y varias derivaciones trabajadas de principio a fin.