La Línea del Mercado de Capitales: añadir un activo sin riesgo

Hasta ahora, las mejores carteras que podíais comprar vivían sobre una curva: la frontera eficiente, ese elegante arco de mezclas de activos con riesgo donde cada punto exprime el máximo rendimiento posible de su riesgo. Es una curva preciosa. Y está a punto de ser degradada.

Porque hemos estado asumiendo en silencio que solo podéis mantener cosas con riesgo. Olvidad eso. Dejad que la gente aparque dinero en algo que apenas se mueve — una letra del Tesoro a corto plazo — y todo el cuadro pasa de golpe de una curva a una recta. Una línea que bate a la frontera entera en casi cada punto. Esa línea es la Línea del Mercado de Capitales (CML), y cuando veáis por qué es recta, entenderéis por qué toda cartera de manual es en realidad solo dos ingredientes: una cesta con riesgo y un montón de efectivo.

El activo sin riesgo: el ancla aburrida sobre la que pivota todo

Imaginad un activo que os paga un rendimiento conocido prácticamente sin sorpresas — una letra del Tesoro a corto plazo mantenida hasta el vencimiento es el sustituto clásico. Entregáis efectivo ahora, recibís una cantidad fija de vuelta en tres meses, y un gobierno solvente es lo más cerca de seguro que paga que llega a estar las finanzas.

Dos números lo definen, y ambos son extremos:

• Volatilidad ≈ 0. El rendimiento está fijado de antemano, así que no hay dispersión de resultados. Desviación típica $\sigma_f \approx 0$.
• Correlación ≈ 0 con los activos con riesgo. Un pago fijo no sube y baja con la bolsa — no se mueve en absoluto. Así que su covarianza con cualquier cosa es esencialmente cero.

Llamaremos a su rendimiento el tipo sin riesgo, escrito $r_f$. En un gráfico de riesgo–rendimiento (volatilidad en el eje x, rendimiento esperado en el eje y), el activo sin riesgo es el único punto que se sienta plano sobre el eje de rendimiento: cero riesgo, altura $r_f$. Ese único punto ancla es lo que dobla toda la historia.

Mezclar el activo sin riesgo con una cartera con riesgo: por qué es una recta

Aquí está el truco de magia, y es álgebra pura. Tomad cualquier cartera con riesgo — llamad a su rendimiento esperado $\mathbb{E}[R_{risky}]$ y a su volatilidad $\sigma_{risky}$ — y repartid vuestro dinero: una fracción $m$ va a la cartera con riesgo, el resto, $1-m$, al activo sin riesgo.

¿Cuál es el rendimiento esperado combinado? Solo la media ponderada:

$\mathbb{E}[R_p] = (1-m)\,r_f + m\,\mathbb{E}[R_{risky}] = r_f + m\big(\mathbb{E}[R_{risky}] - r_f\big).$

¿Cuál es la volatilidad combinada? Normalmente combinar dos activos implica una fea fórmula de varianza con un término de covarianza. Pero el activo sin riesgo tiene varianza cero y covarianza cero con todo, así que todos esos términos se desvanecen y os quedáis solo con:

$\sigma_p = m\,\sigma_{risky}.$

Mirad lo que ha pasado. Tanto $\mathbb{E}[R_p]$ como $\sigma_p$ son lineales en $m$ — funciones rectas del mismo dial. A medida que giráis $m$ de 0 a 1 y más allá, el punto $(\sigma_p, \mathbb{E}[R_p])$ se desliza por una recta que empieza en el punto sin riesgo $(0, r_f)$ y pasa por la cartera con riesgo. Sin curva. La curvatura de la antigua frontera venía enteramente de la covarianza entre dos activos con riesgo; matad la varianza de uno de los activos y la combadura desaparece.

Ejemplo resuelto

Sea la cartera con riesgo con un rendimiento del 10% y una volatilidad del 16%, y sea $r_f = 3\%$. Poned el 50% en cada uno ($m = 0.5$):

Reducir a la mitad vuestra exposición a la cesta con riesgo redujo a la mitad su volatilidad (16% → 8%) y tiró del rendimiento exactamente hasta la mitad entre $r_f$ y el rendimiento con riesgo (3% → 6.5%). Ambos se movieron al unísono a lo largo de una recta. Ese intercambio recto y proporcional es justo de lo que va todo.

La cartera tangente: la recta más empinada que puedes dibujar

Podéis dibujar una recta desde el punto sin riesgo hasta cualquier cartera con riesgo de la frontera. Algunas rectas son empinadas (gran rendimiento por unidad de riesgo), otras son planas (penosas). ¿Qué cartera con riesgo deberíais combinar de verdad con el efectivo?

La que da la recta más empinada. Geométricamente, pivotad una regla en el punto sin riesgo $(0, r_f)$ y giradla hacia arriba hasta que justo roce la frontera eficiente — la toca en un único punto sin cruzar por encima. Ese punto de beso es la cartera tangente, y la recta hacia ella es más empinada que la recta a cualquier otra cartera de la frontera.

¿Por qué la más empinada? Porque la pendiente de la recta desde $r_f$ hasta una cartera es exactamente su ratio de Sharpe — exceso de rendimiento por unidad de volatilidad, $(\mathbb{E}[R] - r_f)/\sigma$. La cartera tangente es, por construcción, la cartera con riesgo con el mayor ratio de Sharpe alcanzable. Cualquier otra cartera con riesgo que mezcléis con efectivo os da una recta más plana, lo que significa menos rendimiento para el mismo riesgo. Así que la tangente gana, punto.

La Línea del Mercado de Capitales: la línea que domina la curva

Esa recta más empinada — desde $r_f$ a través de la cartera tangente y más allá — es la Línea del Mercado de Capitales. En un mercado donde todos coinciden en los datos de entrada, la cartera tangente es la cartera de mercado $M$ (la cesta entera de activos con riesgo, ponderada por valor), así que escribimos la CML como:

$\mathbb{E}[R_p] = r_f + \frac{\mathbb{E}[R_M] - r_f}{\sigma_M}\,\sigma_p.$

Leedla como una receta: empezad en el tipo sin riesgo, luego ganad un extra de pendiente × vuestra volatilidad. Y esa pendiente, $\dfrac{\mathbb{E}[R_M] - r_f}{\sigma_M}$, es precisamente el ratio de Sharpe de la cartera de mercado — el precio que el mercado os paga por asumir una unidad de riesgo.

Deslizad el dial de asignación de abajo y observad cómo el marcador viaja por la CML. Fijaos en la frontera curva atenuada por debajo de la recta: la CML queda por encima de la frontera en todas partes salvo donde la toca en la cartera de mercado. Esa es la moraleja — para cualquier nivel de riesgo que elijáis, la CML ofrece al menos tanto rendimiento como la antigua curva, y normalmente más. El activo sin riesgo no solo añadió una opción; dominó toda la frontera eficiente de carteras solo con riesgo.

Teorema de separación en dos fondos: todos mantienen la misma cesta con riesgo

Aquí está el resultado que hace sonreír a los profesores de finanzas. Si la CML es el mejor menú, entonces todo inversor racional mantiene alguna mezcla de solo dos cosas: el activo sin riesgo y la única cartera tangente (de mercado). Nadie necesita un montón de acciones a medida — vuestra selección de valores es idéntica a la de todos los demás (la cartera de mercado); la única decisión personal es cuánto poner en ella frente al efectivo. Esto es el teorema de separación en dos fondos.

Así que el apetito por el riesgo ya no cambia qué activos con riesgo poseéis — solo cambia el dial $m$:

• ¿Conservador? Prestáis. Mantened $m < 1$: algo de dinero en letras del Tesoro, el resto en la cartera de mercado. Os sentáis en la CML a la izquierda del punto de mercado — menor riesgo, menor rendimiento. Prestar dinero al gobierno es la pata sin riesgo.
• ¿Agresivo? Os endeudáis. Empujad $m > 1$ endeudándoos al tipo $r_f$ y metiendo el préstamo en la cartera de mercado — eso es apalancamiento. Os sentáis en la CML a la derecha del punto de mercado — mayor riesgo, mayor rendimiento, la misma pendiente de Sharpe.

Ratio de Sharpe resuelto

La pendiente de toda la CML es justo el ratio de Sharpe del mercado. Con $\mathbb{E}[R_M] = 10\%$, $r_f = 3\%$, $\sigma_M = 16\%$:

$\text{Sharpe} = \frac{10\% - 3\%}{16\%} = \frac{7}{16} \approx 0.44.$

Ese 0.44 es el tipo de cambio de todo el mercado: cada punto porcentual extra de volatilidad que asumís os compra unos 0.44 puntos porcentuales extra de rendimiento — ya sea que lleguéis allí prestando ($m<1$) o endeudándoos ($m>1$). Elegid vuestro punto en la recta; el tipo por unidad de riesgo nunca cambia.

Trampas: donde la línea limpia se enreda

La CML es preciosa sobre el papel. La realidad lima algunas esquinas — y un inversor cuidadoso las nombra:

• No podéis endeudaros al verdadero tipo sin riesgo. Los gobiernos se endeudan a $r_f$; vosotros no. Vuestro tipo de endeudamiento es más alto, así que la mitad derecha de la CML (el tramo de apalancamiento) es en realidad más plana — un codo en el punto de mercado, no una única recta. El rendimiento por unidad de riesgo endeudándose es peor que prestando.
• El activo “sin riesgo” no está verdaderamente libre de riesgo. La inflación puede erosionar el rendimiento real, y cuando una letra a corto plazo vence afrontáis riesgo de renovación (reinversión) a un tipo futuro desconocido. Seguro en euros nominales ≠ seguro en poder adquisitivo.
• La cartera tangente depende de estimaciones ruidosas. Se calcula a partir de rendimientos esperados, volatilidades y correlaciones — todos estimados de datos pasados y notoriamente inestables. Pequeños errores en los datos de entrada pueden hacer oscilar enormemente la cartera “óptima”, así que el punto tangente del mundo real es más borroso que el punto nítido del gráfico.
• El apalancamiento corta por ambos lados. Ir a la derecha del punto de mercado ($m>1$) magnifica las pérdidas tanto como las ganancias, y una posición apalancada puede desencadenar un ajuste de margen (margin call) — verse forzado a vender en el peor momento posible. La línea dice “más rendimiento por más riesgo”; no os avisa de que os pueden liquidar.

Puntos clave

A continuación: el CAPM — si todos mantienen el mercado, ¿qué rendimiento debería ganar un activo individual? Entran la beta y la Línea del Mercado de Valores.