Riesgo y rentabilidad de una cartera: combinar dos activos

Ya os habéis topado con la correlación y la fórmula de la varianza de una cartera en abstracto. Ahora metemos dos activos reales en la batidora y observamos qué sale. Elegid una acción de crecimiento picante y un fondo de bonos tranquilo, mantened algo de cada uno, y le pasan dos cosas muy distintas a los dos números que os importan. La rentabilidad de la mezcla se comporta exactamente como espera vuestro instinto — cae limpiamente entre los dos. El riesgo de la mezcla hace algo casi mágico: puede caer por debajo de lo que predeciría una media simple, y a veces por debajo del activo más tranquilo por sí solo. Esa brecha entre “lo que dice una media ingenua” y “lo que de verdad ocurre” es la comida gratis entera de la diversificación — y tiene una ecuación exacta. Esta lección es donde la matemática de la rentabilidad y la del riesgo se separan.

La rentabilidad esperada es una media ponderada

Empecemos por la mitad fácil. Una cartera no es más que un conjunto de pesos — qué fracción de vuestro dinero se asienta en cada activo — y esos pesos deben sumar 1 (no podéis invertir el 130% de vuestro efectivo salvo que pidáis prestado, lo cual dejamos para más adelante). Llamad simplemente $w_A$ al peso en el activo $A$, con $w_B = 1 - w_A$.

La rentabilidad esperada de la cartera es la media ponderada de las piezas:

$\mathbb{E}[R_p] = \sum_i w_i\,\mathbb{E}[R_i] = w_A\,\mathbb{E}[R_A] + w_B\,\mathbb{E}[R_B].$

Esto es lineal en los pesos — duplica el efecto de un peso duplicando el peso, sin sorpresas. Pensadlo como mezclar pintura por cubos: el 60% de un cubo de rentabilidad del 12% y el 40% de un cubo de rentabilidad del 6% os da una rentabilidad que se sitúa proporcionalmente entre ellos. Sin cancelación, sin bonus, sin penalización.

Ejemplo resuelto. El activo A (una acción) espera un 12%; el activo B (un bono) espera un 6%. Mantened 60% A, 40% B:

$\mathbb{E}[R_p] = 0.60 \times 12\% + 0.40 \times 6\% = 7.2\% + 2.4\% = 9.6\%.$

Barred el peso y la rentabilidad marcha en línea recta entre el 6% y el 12%:

Cada 1% que desplazáis del bono a la acción añade exactamente los mismos $0.06$ puntos porcentuales de rentabilidad. Perfectamente lineal.

El riesgo NO es una media ponderada

Aquí está la trampa que hunde a los principiantes. Si 60/40 de dos rentabilidades es una media ponderada, ¿seguro que 60/40 de dos volatilidades también lo es? Pues no. La varianza tiene un término cruzado que la media ingenua ignora por completo. Para dos activos:

$\sigma_p^2 = w_A^2\sigma_A^2 + w_B^2\sigma_B^2 + 2\,w_A w_B\,\rho\,\sigma_A\sigma_B,$

donde $\rho$ es la correlación entre A y B. Los dos primeros términos son la varianza propia de cada activo, escalada por el cuadrado de su peso. El último término — el término cruzado — es donde entra la correlación, y es el héroe de la historia. Cuando $\rho < 1$, ese término cruzado es menor de lo que sería si los activos se movieran al unísono, y la suma entera queda por debajo de la mezcla ingenua.

Lo incorrecto que se puede calcular es la media ponderada de las volatilidades:

$\sigma_{\text{ingenua}} = w_A\sigma_A + w_B\sigma_B \quad (\textbf{incorrecto salvo que } \rho = 1).$

Esa fórmula solo es correcta en el único caso en que la diversificación no os da nada — correlación positiva perfecta. Para cualquier cosa menor, el número real es más pequeño.

Ejemplo resuelto. Mismos activos, ahora con riesgo: $\sigma_A = 28\%$, $\sigma_B = 14\%$, correlación $\rho = 0.2$. Pesos 60% A, 40% B. Primero el ingrediente del término cruzado:

$\text{insumos del término de covarianza: } \rho\,\sigma_A\sigma_B = 0.2 \times 28 \times 14 = 78.4.$

Ahora lo metemos en la fórmula de la varianza (trabajando en porcentaje al cuadrado):

Sacad la raíz cuadrada: $\sigma_p = \sqrt{351.23} \approx 18.74\%$.

Ahora comparad con la mezcla ingenua: $\sigma_{\text{ingenua}} = 0.6 \times 28 + 0.4 \times 14 = 16.8 + 5.6 = 22.4\%$.

Mantuvisteis exactamente la misma mezcla 60/40 y obtuvisteis 3.66 puntos porcentuales menos de riesgo de lo que afirmaba la media ingenua — gratis, solo porque los dos activos no se mueven a paso perfecto. La rentabilidad seguía siendo un limpio 9.6%. Esa es la comida gratis en un único cálculo.

La curva en bala

Así que la rentabilidad se mueve en línea recta a medida que desplazáis peso, pero el riesgo se curva por debajo de la media ingenua. Poned esos dos hechos en el mismo gráfico — riesgo en el eje x, rentabilidad en el eje y — y no obtenéis una recta que conecte los dos activos. Obtenéis una curva que se abomba hacia la izquierda, llamada la bala (o la frontera de carteras para dos activos). Arrastrad el peso abajo y observad cómo el marcador la traza.

¿Por qué una curva y no una recta? Trazad las dos coordenadas por separado mientras $w_A$ barre de $0 \to 1$:

• La coordenada y (rentabilidad) se mueve linealmente — pasos iguales para cambios de peso iguales, exactamente la escalera recta de la primera tabla.
• La coordenada x (riesgo) no lo hace — cae por debajo de la recta a causa de ese término cruzado con $\rho < 1$, más honda en algún punto del medio donde ambos pesos son considerables.

Un punto cuya altura sube de forma constante pero cuya posición horizontal tira hacia dentro barre una curva que se abomba hacia el lado de bajo riesgo (izquierda). Cuanto más por debajo de 1 sea la correlación, más honda la curva. Si $\rho$ fuera exactamente 1, el término cruzado no encogería, el riesgo igualaría a la mezcla ingenua en cada peso, y la bala colapsaría en una recta entre los dos activos — sin diversificación, sin curva.

La cartera de mínima varianza

Esa punta más a la izquierda de la bala tiene un nombre: la cartera de mínima varianza (MVP) — la única mezcla con la volatilidad más baja posible que podéis construir a partir de este par. Es la cartera “más tranquila” disponible, y a menudo se sitúa en un peso más extremo del que adivinaríais. Hay un peso en forma cerrada para ella:

$w_A^{\min} = \frac{\sigma_B^2 - \mathrm{Cov}_{AB}}{\sigma_A^2 + \sigma_B^2 - 2\,\mathrm{Cov}_{AB}}, \qquad \mathrm{Cov}_{AB} = \rho\,\sigma_A\sigma_B.$

Ejemplo resuelto. Nuestros números: $\sigma_A = 28$, $\sigma_B = 14$, $\rho = 0.2$. Primero la covarianza:

$\mathrm{Cov}_{AB} = 0.2 \times 28 \times 14 = 78.4.$

Ahora el peso (las varianzas son $28^2 = 784$ y $14^2 = 196$):

$w_A^{\min} = \frac{196 - 78.4}{784 + 196 - 2(78.4)} = \frac{117.6}{823.2} \approx 0.143.$

Así que la cartera de mínima varianza mantiene en torno al 14.3% en la acción y el 85.7% en el bono. Fijaos en que no es 100% bono — aunque el bono sea el activo más tranquilo, espolvorear un poco de acción de hecho reduce el riesgo total, porque el bamboleo de la acción cancela en parte el del bono. Esa es la moraleja contraintuitiva: la mezcla más segura suele contener una pizca del activo arriesgado.

Comprobemos su rentabilidad y su riesgo. Rentabilidad: $0.143 \times 12\% + 0.857 \times 6\% \approx 6.86\%$. Su volatilidad (meted $w_A = 0.143$ en la fórmula de la varianza) sale en torno al 13.6% — por debajo del propio 14% del bono. La MVP es menos arriesgada que cualquiera de los activos por separado.

La MVP parte la bala en dos arcos. Todo lo que está por encima de la MVP es la parte eficiente de la frontera: para cada una de esas carteras, ninguna otra mezcla da más rentabilidad al mismo riesgo. Todo lo que está por debajo está dominado — para cualquier cartera del arco inferior hay una del arco superior con el mismo riesgo pero más rentabilidad, así que ningún inversor racional la elegiría jamás. Cuando la gente dice “la frontera eficiente”, se refiere a ese arco superior brillante, que arranca en la MVP y sube hasta el activo de alta rentabilidad.

Escalando a muchos activos

Dos activos nos dieron un término cruzado. El patrón generaliza, pero la contabilidad explota. Con $N$ activos la varianza es una doble suma sobre cada par:

$\sigma_p^2 = \sum_i \sum_j w_i w_j\,\mathrm{Cov}(R_i, R_j).$

Cuando $i = j$ es la varianza propia de un activo; cuando $i \neq j$ es una covarianza por pares, contada dos veces. Esta rejilla de todas las covarianzas es la matriz de covarianzas — el ADN de riesgo completo de la cartera.

Aquí está la parte que merece la pena interiorizar: el número de términos de covarianza crece mucho más rápido que el número de activos. Con $N$ activos tenéis $N$ varianzas pero $\tfrac{N(N-1)}{2}$ covarianzas por pares distintas. Para 10 activos son 10 varianzas frente a 45 covarianzas; para 100 activos son 100 frente a 4.950. Las covarianzas anegan a las varianzas. Así que en una cartera grande, vuestro riesgo total lo gobierna mucho más cómo se mueven juntas vuestras posiciones que lo nervioso que sea cualquiera de ellas por separado. La diversificación no mata tanto la varianza propia de un activo como promedia hasta hacer desaparecer las partes que no están compartidas — que es exactamente por lo que una cesta de activos correlacionados-pero-no-idénticos puede ser mucho más tranquila que sus partes. Trazaremos la frontera completa de muchos activos en la próxima lección; por ahora, quedaos solo con la idea de que las covarianzas, no las varianzas, gobiernan el riesgo de una cartera grande.

Errores comunes

Unas cuantas formas en que esto sale mal en la práctica:

• Promediar las volatilidades. El error más común de todos: tratar $\sigma_p$ como $w_A\sigma_A + w_B\sigma_B$. Eso sobreestima vuestro riesgo (es el caso $\rho = 1$) y hace invisible la diversificación. Pasad siempre por la varianza y el término cruzado.
• Olvidar el signo del término cruzado. El término cruzado lleva el signo de $\rho$. La correlación positiva añade riesgo; la correlación negativa lo resta — un par correlacionado negativamente puede llevar el riesgo de la cartera dramáticamente bajo, incluso hasta cero en el caso idealizado $\rho = -1$. Tirad ese término o equivocad su signo y toda vuestra estimación de riesgo se desvía.
• Confiar demasiado en vuestra estimación de la correlación. $\rho$ se estima a partir de datos pasados ruidosos, y se desplaza — las correlaciones suben notoriamente hacia 1 en un crac, justo cuando más queríais la diversificación. La matemática es exacta; los insumos no.
• Dejar que los pesos se desvíen. Vuestro 60/40 no se queda en 60/40. Cuando la acción se dispara se convierte, por ejemplo, en 70/30 por su cuenta, elevando en silencio vuestro riesgo por encima de lo que firmasteis. Mantener una mezcla objetivo exige un reequilibrio periódico — vender la ganadora hasta devolverla a su peso.

Puntos clave

A continuación: la frontera eficiente — la misma lógica con muchos activos a la vez, donde la bala se convierte en una región entera y solo su borde superior merece la pena mantenerlo.