Correlación y covarianza: las matemáticas de moverse juntos

Ya sabéis medir el riesgo de un solo activo: tomáis la desviación típica de sus rentabilidades y lo llamáis volatilidad. Un número, un activo, listo. Pero una cartera no es un solo activo — son varios, empujándose entre sí, y la sorpresa de la Teoría Moderna de Carteras es que cómo se mueven juntos importa más que lo salvaje que sea cada uno por su cuenta.

Dos activos pueden ser, cada uno, aterradoramente volátiles y, sin embargo, pegados en una cartera, cancelarse parcialmente entre sí — como dos personas en un balancín que, inclinándose en sentidos opuestos, mantienen la tabla más estable de lo que cualquiera lograría sola. La herramienta que mide este “moverse juntos” es la covarianza, y su prima ordenada y sin unidades es la correlación. Esta lección define ambas desde cero, y luego muestra la fórmula exacta donde una correlación baja se paga en forma de menos riesgo.

Covarianza — cómo se mueven juntos dos activos

La volatilidad os dice cuánto oscilan las rentabilidades de un activo alrededor de su propia media. La covarianza plantea una pregunta distinta sobre dos activos a la vez: cuando el activo A está por encima de su media, ¿suele estar el activo B también por encima de la suya — o por debajo?

Pensad en dos bailarines. Si van sincronizados — ambos dan un paso al frente a la vez, ambos atrás a la vez — tienen covarianza positiva. Si se reflejan el uno al otro — uno avanza justo cuando el otro retrocede — eso es covarianza negativa. Si se ignoran mutuamente, deambulando por la pista de forma independiente, su covarianza es aproximadamente cero.

La definición precisa es el producto medio de la desviación de cada activo respecto a su propia media:

$\mathrm{Cov}(R_A, R_B) = \mathbb{E}\big[(R_A - \mu_A)(R_B - \mu_B)\big]$

Leed el signo a partir del producto de dentro. Cuando ambos activos están por encima de sus medias en el mismo periodo, ambas desviaciones son positivas, así que el producto es positivo. Cuando ambos están por debajo, ambas desviaciones son negativas — y un negativo por un negativo es aún positivo. Así que moverse en la misma dirección (subir juntos o bajar juntos) empuja la covarianza hacia lo positivo. Moverse en direcciones opuestas hace una desviación positiva y la otra negativa, así que el producto es negativo.

• Covarianza positiva → los activos tienden a moverse en la misma dirección.
• Covarianza negativa → tienden a moverse en direcciones opuestas.
• Covarianza cercana a cero → ninguna relación fiable.

Un ejemplo resuelto

Aquí tenéis tres años de rentabilidades de dos activos, A y B:

Primero las medias: $\mu_A = (10 - 2 + 4)/3 = 4\%$ y $\mu_B = (4 + 0 + 2)/3 = 2\%$.

Ahora las desviaciones y sus productos:

Promediad los productos: $\mathrm{Cov}(R_A, R_B) = (12 + 12 + 0)/3 = 8$. La covarianza es +8 (porcentaje al cuadrado) — positiva, así que A y B tienden a moverse juntos, lo que cuadra con la tabla: cuando A saltó, B también; cuando A cayó, B cayó también.

Cuándo importa

La covarianza es el ingrediente bruto — es lo que de verdad aparece dentro de la fórmula de la varianza de la cartera más adelante. Pero por sí sola es un mal resumen, porque su tamaño está contaminado por las volatilidades de los activos. Usad la covarianza cuando vayáis a meterla en una fórmula; echad mano de la correlación cuando queráis juzgar lo relacionadas que están dos cosas.

Correlación — la versión normalizada y sin unidades

Para arreglar el problema de unidades de la covarianza, dividídla por el producto de las dos volatilidades. Eso elimina la escala y deja un número puro y adimensional llamado coeficiente de correlación, escrito $\rho$ (la “rho” griega):

$\rho_{AB} = \frac{\mathrm{Cov}(R_A, R_B)}{\sigma_A\,\sigma_B}$

La magia de esa división es que $\rho$ siempre queda atrapada en un rango fijo: $-1 \le \rho \le +1$. Ahora el número significa lo mismo para cualquier par de activos, así que por fin podéis comparar. Leedlo así:

• $\rho = +1$ — al unísono perfecto. Los dos se mueven en proporción exacta, siempre. Ninguna diversificación posible.
• $\rho = 0$ — sin relación. Conocer uno no os dice nada sobre el otro.
• $\rho = -1$ — espejo perfecto. Cuando uno hace un zig, el otro hace un zag en proporción exacta — la cobertura ideal.
• Cualquier valor intermedio es una relación parcial; p. ej., $\rho = 0,6$ es “bastante correlacionados, pero no pegados”.

Convertir la covarianza en correlación

Tomad el ejemplo de antes. Encontramos $\mathrm{Cov} = 8$. Supongamos que las volatilidades son $\sigma_A = 6\%$ y $\sigma_B = 2\%$ (calculadas a partir de las mismas desviaciones). Entonces:

$\rho_{AB} = \frac{8}{6 \times 2} = \frac{8}{12} \approx 0.67$

Una correlación de aproximadamente +0,67 — fuertemente positiva, pero no perfecta. Fijaos en lo mucho más amable que es 0,67 que “8 porcentaje-al-cuadrado”: dice al instante “estos dos se mueven juntos casi siempre, pero no al unísono perfecto”, sin unidades con las que pelear y sin nada contra lo que comparar.

Por qué importa para una cartera

Aquí es donde todo se paga. Mezclad un peso $w_A$ del activo A y un peso $w_B = 1 - w_A$ del activo B. La varianza de la cartera no es la media de las dos varianzas. Es:

$\sigma_p^2 = w_A^2\sigma_A^2 + w_B^2\sigma_B^2 + 2\,w_A w_B\,\rho\,\sigma_A\sigma_B$

Tres términos, y cada uno se gana su sitio:

• $w_A^2\sigma_A^2$ — la contribución de riesgo propia del activo A, escalada por cuánto tenéis de él (al cuadrado).
• $w_B^2\sigma_B^2$ — lo mismo para el activo B.
• $2\,w_A w_B\,\rho\,\sigma_A\sigma_B$ — el término cruzado, y la estrella del espectáculo. Es el único lugar donde aparece $\rho$. Cuando $\rho$ es alta, este término es grande y positivo, e infla la varianza de la cartera. A medida que $\rho$ cae, el término cruzado se encoge; en $\rho = 0$ desaparece por completo; y cuando $\rho$ es negativa se vuelve negativo y resta de la varianza total.

Ese término cruzado es donde vive la diversificación. Cuanto menor sea la correlación, más pequeño (o más negativo) es, y más baja el riesgo de vuestra cartera por debajo de la ingenua media ponderada de las dos volatilidades. Arrastrad los controles de abajo y ved cómo se abre la brecha.

Los tres casos

Para hacer concreto el término cruzado, mantened una mezcla 50/50 del activo A ($\sigma_A = 30\%$) y el activo B ($\sigma_B = 20\%$), y recorred $\rho$ por sus tres valores característicos. Con $w_A = w_B = 0.5$, la fórmula queda $\sigma_p^2 = 0.25(900) + 0.25(400) + 2(0.5)(0.5)\,\rho\,(30)(20) = 225 + 100 + 300\rho = 325 + 300\rho$.

La aritmética cuenta la historia entera:

• En $\rho = +1$, $\sigma_p$ iguala la media ponderada, $0.5(30) + 0.5(20) = 25\%$. Los activos se mueven al unísono perfecto, así que mezclarlos no os compra nada — simplemente promediáis el riesgo.
• En $\rho = 0$, el término cruzado desaparece y el riesgo baja a ≈18,0%, muy por debajo de la media del 25%. Dos activos no relacionados se cancelan parcialmente.
• En $\rho = -1$, el término cruzado se vuelve plenamente negativo y el riesgo se desploma al 5% — muy por debajo de la volatilidad propia de cualquiera de los activos. Un espejo perfecto deja que las oscilaciones se cubran entre sí. (Con los pesos adecuados, incluso podríais llevarlo a cero.)

Trampas

La correlación es poderosa y se abusa de ella habitualmente. Cuatro trampas que conviene tener en mente:

• Correlación no es causalidad. Dos activos pueden moverse juntos por un motor compartido (tipos de interés, precio del petróleo) o por pura coincidencia. Una $\rho$ alta os dice que se movieron juntos; nunca os dice por qué, y desde luego no que uno cause el otro.
• ρ es inestable en el tiempo — y se dispara en las crisis. Un par que parecía no correlacionado durante años puede saltar hacia $\rho = +1$ en un desplome, cuando todo el mundo vende todo a la vez. Esto es la dependencia de cola: las correlaciones suben justo cuando contabais con que fueran bajas, así que la diversificación se evapora en el peor momento.
• ρ solo capta el co-movimiento lineal. La correlación mide relaciones en línea recta. Dos activos pueden estar fuertemente vinculados de forma curva o por umbrales y aun así mostrar $\rho \approx 0$. Una correlación baja no demuestra independencia.
• Una sola ρ esconde cambios de régimen. Un número promediado sobre una ventana larga puede ocultar que la relación era fuertemente positiva en mercados tranquilos y fuertemente negativa en los estresados. La media adula; los regímenes muerden.

Puntos clave

A continuación: combinar activos en una cartera y observar cómo se curva la frontera de riesgo-rentabilidad — cómo mezclar dos activos traza una curva en el espacio riesgo-rentabilidad que se arquea hacia dentro precisamente por las matemáticas de la correlación que acabáis de aprender.