La matriz de covarianzas

La matriz de covarianzas Σ es el único objeto sobre el que se apoya cada cálculo de riesgo de este curso — la varianza de la cartera, la solución del optimizador, la ratio de Sharpe, todo pasa por Σ. Así que antes de poder optimizar tenemos que entender de verdad esta tabla: cómo se ensambla, las reglas estructurales que debe obedecer (simetría, semidefinición positiva), cuán monstruosamente crece a medida que añades activos, y la propiedad — el condicionamiento — que calladamente determina si tu optimizador produce pesos sensatos o disparates impulsados por el ruido. Acierta con Σ y el resto es aritmética; equivócate con ella y ninguna optimización ingeniosa podrá rescatarte.

Construir Σ: varianzas en la diagonal, covarianzas fuera de ella

Analogía. Imagina una hoja de cálculo con la misma lista de activos en las filas y en las columnas. Cada celda responde: “¿cómo se mueven juntos el activo de la fila y el de la columna?” Las celdas de la diagonal principal comparan un activo consigo mismo — eso es simplemente su propia varianza — y cada celda fuera de la diagonal mide un par genuino.

Definición. Para $N$ activos con rendimientos $r_1, \dots, r_N$, la matriz de covarianzas $\Sigma$ es la tabla $N \times N$ con entradas $\Sigma_{ij} = \mathrm{Cov}(r_i, r_j) = \mathbb{E}\big[(r_i - \mu_i)(r_j - \mu_j)\big].$ En la diagonal ($i = j$) esto es la varianza $\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$. Fuera de la diagonal se factoriza en volatilidades y correlación: $\Sigma_{ij} = \sigma_i\,\sigma_j\,\rho_{ij},$ donde $\rho_{ij} \in [-1, 1]$ es la correlación. La matriz de correlaciones es la misma tabla con las volatilidades quitadas — todo unos en la diagonal — así que es el esqueleto puro de comovimiento, y $\Sigma = D R D$ donde $D$ es la matriz diagonal de volatilidades y $R$ la matriz de correlaciones.

Ejemplo resuelto (3 activos). Supón $\sigma = (20\%,\ 10\%,\ 15\%)$ y las correlaciones $\rho_{12} = 0\,3$, $\rho_{13} = -0\,2$, $\rho_{23} = 0\,5$. Entonces cada covarianza es volatilidad × volatilidad × correlación:

• $\Sigma_{12} = 0\,20 \times 0\,10 \times 0\,3 = 0\,006$.
• $\Sigma_{13} = 0\,20 \times 0\,15 \times (-0\,2) = -0\,006$.
• $\Sigma_{23} = 0\,10 \times 0\,15 \times 0\,5 = 0\,0075$.

Así que la matriz completa es $\Sigma = \begin{pmatrix} 0\,0400 & 0\,0060 & -0\,0060 \\ 0\,0060 & 0\,0100 & 0\,0075 \\ -0\,0060 & 0\,0075 & 0\,0225 \end{pmatrix}.$ Léela: el activo 1 es el más volátil (diagonal 0,04 = 0,20²), los activos 1 y 3 son un par diversificador (covarianza negativa), y los activos 2 y 3 se mueven juntos (positiva).

Semidefinición positiva: la regla que Σ no puede romper

Analogía. La varianza de una cartera es una magnitud real y física — la dispersión de sus rendimientos. Puede ser cero (un libro perfectamente cubierto) pero nunca negativa: nada es “menos arriesgado que la certeza perfecta”. Una matriz de covarianzas válida es exactamente la que garantiza esto para cada cartera posible que pudieras construir con los activos.

Definición. Una matriz simétrica $\Sigma$ es semidefinida positiva (SDP) si para todo vector de pesos $w$, $w^\top \Sigma\, w \ge 0.$ Como $w^\top \Sigma w$ es la varianza de la cartera, la SDP es solo la afirmación “ninguna cartera puede tener varianza negativa”. De forma equivalente, todos los valores propios de $\Sigma$ son $\ge 0$. Una matriz es definida positiva (DP) si la desigualdad es estricta ($> 0$) para todo $w$ no nulo — es decir, ninguna cartera no nula tiene varianza exactamente cero, que es lo que necesitas para que $\Sigma$ sea invertible.

Por qué una matriz puede no ser SDP. Si estimas correlaciones con descuido — digamos a partir de datos donde distintos pares se midieron en ventanas temporales distintas, o ajustas a mano unas pocas celdas — puedes producir una matriz simétrica con un valor propio negativo. Eso implica que alguna cartera tiene varianza negativa, lo cual es un disparate, y el optimizador lo explotará sin piedad: volcará peso en esa “reducción de riesgo gratis” y te entregará una respuesta absurda.

Ejemplo resuelto — detectar una matriz rota. Considera la matriz de correlaciones que afirma que tres activos están cada uno fuertemente correlacionados positivamente salvo que un par está fuertemente negativo: $R = \begin{pmatrix} 1 & 0\,9 & 0\,9 \\ 0\,9 & 1 & -0\,9 \\ 0\,9 & -0\,9 & 1 \end{pmatrix}.$ Esto es lógicamente imposible: si el activo 1 está correlacionado al 90 % con 2 y con 3, entonces 2 y 3 no pueden estar fuertemente correlacionados negativamente — ambos siguen la sombra del activo 1. Enchúfala y encontrarías un valor propio negativo, marcándola como no SDP. La transitividad de la correlación no es una sugerencia; la impone la restricción de SDP.

La explosión de dimensionalidad

Analogía. Añadir un activo más a tu universo no añade un número más a estimar — añade toda una fila y columna de comovimientos con todo lo que ya hay. La contabilidad crece como el área de la matriz, no como su longitud.

El recuento. Una matriz de covarianzas $N \times N$ tiene $N^2$ celdas, pero la simetría significa que los números distintos son $\underbrace{N}_{\text{varianzas}} + \underbrace{\frac{N(N-1)}{2}}_{\text{covarianzas}} = \frac{N(N+1)}{2}.$

Ejemplos resueltos.

Para el S&P 500, debes fijar más de 125 000 números. Y aquí está lo letal: normalmente solo tienes unos pocos años de datos diarios — quizá 750–1250 observaciones por activo. Estás estimando más parámetros de los que tienes observaciones independientes. Cuando el número de parámetros se acerca o supera el tamaño de la muestra, la Σ estimada se vuelve disparatadamente ruidosa y, a menudo, singular (no invertible) — lo que torpedea al optimizador. Esta maldición de la dimensionalidad es la razón profunda por la que existe la contracción (lección 5).

Condicionamiento: por qué una Σ casi singular destroza el optimizador

Analogía. Imagina equilibrar un lápiz sobre su punta frente a tumbarlo plano. Plano, un empujoncito apenas lo mueve (bien condicionado). Sobre la punta, el más mínimo soplo lo manda a volar (mal condicionado). Una matriz de covarianzas está “equilibrada sobre la punta” cuando algunos activos son casi redundantes — muy correlacionados — así que la matriz es casi singular.

Definición. El número de condición de $\Sigma$ es la razón de su mayor valor propio a su menor, $\kappa(\Sigma) = \frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}}.$ Un $\kappa$ grande significa que $\Sigma$ está mal condicionada: está cerca de ser singular, $\lambda_{\min}$ es diminuto, y la inversa $\Sigma^{-1}$ (que el optimizador necesita) tiene entradas enormes escaladas por $1/\lambda_{\min}$. Pequeños errores en las entradas se magnifican por aproximadamente $\kappa$ en los pesos de salida.

Por qué los activos correlacionados lo causan. Si dos activos tienen correlación cercana a 1, son casi el mismo activo — la matriz tiene una dirección con casi nada de varianza, así que $\lambda_{\min} \approx 0$ y $\kappa$ explota. El optimizador, al ver dos activos casi idénticos con rendimientos estimados ligeramente distintos, tomará una posición larga gigante en uno y una corta gigante en el otro para cosechar el diminuto diferencial aparente — una posición que es puro ruido y se revertirá fuera de muestra.

Intuición resuelta. Dos activos, ambos con volatilidad del 20 %, correlación $\rho$. Los valores propios de la matriz de correlaciones son $1+\rho$ y $1-\rho$, así que $\kappa = \frac{1+\rho}{1-\rho}$. En $\rho = 0$, $\kappa = 1$ (perfectamente equilibrada). En $\rho = 0\,9$, $\kappa = \frac{1\,9}{0\,1} = 19$. En $\rho = 0\,99$, $\kappa = \frac{1\,99}{0\,01} = 199$. A medida que $\rho \to 1$, $\kappa \to \infty$ y la matriz se vuelve singular — no hay reparto óptimo único entre dos activos idénticos, así que la respuesta del optimizador carece de sentido.

Recapitulando

La matriz de covarianzas Σ se construye a partir de volatilidades y correlaciones ($\Sigma_{ij} = \sigma_i\sigma_j\rho_{ij}$), con varianzas en la diagonal y comovimientos fuera de ella. Debe ser simétrica (la covarianza ignora el orden) y semidefinida positiva ($w^\top\Sigma w \ge 0$, así que ninguna cartera tiene varianza negativa — de forma equivalente todos los valores propios $\ge 0$); un valor propio negativo significa que la matriz está rota y el optimizador abusará de ella. El número de parámetros distintos crece como $N^2$ — más de 125 000 para el S&P 500 — así que rutinariamente estimas más números de los que tienes datos, produciendo una estimación muestral ruidosa y a menudo singular. Y el condicionamiento (la razón de valores propios $\kappa$) decide todo lo de aguas abajo: activos muy correlacionados y casi redundantes hacen Σ casi singular, así que $\Sigma^{-1}$ tiene entradas enormes que amplifican errores de entrada diminutos en pesos descabellados e inestables. Esa fragilidad es el puente a la siguiente lección — y la razón por la que existen la contracción y las restricciones.

A continuación — mecánica media-varianza: con Σ en la mano, resolvemos de verdad para los pesos. Derivaremos las carteras de mínima varianza y de máximo Sharpe (tangencia), veremos el lagrangiano y la solución en forma cerrada que invoca $\Sigma^{-1}$, y trabajaremos un ejemplo numérico completo a mano — convirtiendo el problema abstracto de optimización en números concretos.