De la frontera a los pesos

La teoría de carteras te dio una imagen preciosa — una frontera eficiente curvándose hacia arriba y a la izquierda, una cartera de tangencia, una línea del mercado de capitales — y luego hizo un gesto vago ante la parte que de verdad le importa a un operador: ¿qué activos compro, y cuánto de cada uno? Esa respuesta es una lista de números llamados pesos, y producirla a partir de datos reales es todo el trabajo de la optimización de carteras. Esta lección clava el problema con precisión: qué estás resolviendo, qué introduces y qué significa siquiera “óptimo” una vez que dejas de dibujar curvas y empiezas a calcular vectores. Todo en este curso es una respuesta a una pregunta — dadas mis creencias sobre los activos, ¿qué pesos debería tener? — así que enunciemos esa pregunta sin rodeos.

Qué es de verdad una cartera: un vector de pesos

Analogía. Piensa en tu capital como una tarta y en cada activo como una porción. La receta de la tarta es solo la lista de tamaños de porción: 40 % acciones, 30 % bonos, etc. Esa lista — un número por activo — es la cartera. Cambia los números y tienes una cartera distinta; nada más en ella es fundamental.

Definición. Una cartera de $N$ activos es un vector de pesos $w = (w_1, w_2, \dots, w_N),$ donde $w_i$ es la fracción del capital total invertida en el activo $i$. La restricción definitoria es que los pesos suman uno: $\sum_{i=1}^N w_i = 1.$ Esa restricción presupuestaria dice que inviertes todo tu dinero y no más. Un peso puede ser negativo — eso es una posición corta, donde tomas prestado y vendes un activo, usando los ingresos para comprar más de otra cosa (así que los largos pueden sumar más del 100 %). Una cartera solo-largo (long-only) exige además que cada $w_i \ge 0$.

Ejemplo resuelto. Tienes 100 000 $. Pones 60 000 $ en un fondo de acciones, 30 000 $ en bonos y 10 000 $ en oro. Los pesos son $w = \left(\tfrac{60\,000}{100\,000}, \tfrac{30\,000}{100\,000}, \tfrac{10\,000}{100\,000}\right) = (0\,6,\ 0\,3,\ 0\,1),$ y, en efecto, $0\,6 + 0\,3 + 0\,1 = 1$. Supón en cambio que pones corto 20 000 $ de oro y usas la liquidez para comprar 120 000 $ de acciones: $w = (1\,2,\ 0\,0,\ -0\,2)$, que sigue sumando uno ($1\,2 + 0 - 0\,2 = 1$). Mismo presupuesto, apuesta muy distinta.

Las dos entradas: rendimientos esperados μ y covarianza Σ

Todo optimizador media-varianza come exactamente dos cosas. Falla en estas y nada aguas abajo puede salvarte — que es el tema recurrente de todo este curso.

Entrada 1 — rendimientos esperados (μ). Un vector $\mu = (\mu_1, \dots, \mu_N)$ que da tu previsión del rendimiento medio futuro de cada activo. Es el lado de la recompensa. Crucialmente, son previsiones — conjeturas sobre el futuro — y son lo más difícil de estimar con precisión en finanzas.

Entrada 2 — la matriz de covarianzas (Σ). Una tabla $N \times N$ que captura el riesgo y el comovimiento. Su entrada diagonal $\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$ es la varianza del activo $i$ (volatilidad al cuadrado); su entrada fuera de la diagonal $\Sigma_{ij} = \sigma_i \sigma_j \rho_{ij}$ es la covarianza entre los activos $i$ y $j$, donde $\rho_{ij}$ es su correlación. Es el lado del riesgo, y codifica la diversificación que hace que merezca la pena construir carteras.

A partir de estas dos entradas, el rendimiento esperado y la varianza de la cartera son expresiones matriciales compactas: $\mathbb{E}[r_p] = w^\top \mu, \qquad \mathrm{Var}(r_p) = w^\top \Sigma\, w.$

Ejemplo resuelto (dos activos). Sea $\mu = (8\%,\ 4\%)$, con volatilidades $\sigma_1 = 20\%$, $\sigma_2 = 10\%$ y correlación $\rho = 0\,3$. La matriz de covarianzas es $\Sigma = \begin{pmatrix} 0\,20^2 & 0\,20\cdot 0\,10\cdot 0\,3 \\ 0\,20\cdot 0\,10\cdot 0\,3 & 0\,10^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\,04 & 0\,006 \\ 0\,006 & 0\,01 \end{pmatrix}.$ Para una cartera equiponderada $w = (0\,5, 0\,5)$:

• Rendimiento esperado: $w^\top \mu = 0\,5(8\%) + 0\,5(4\%) = 6\%$.
• Varianza: $w^\top \Sigma w = 0\,5^2(0\,04) + 0\,5^2(0\,01) + 2(0\,5)(0\,5)(0\,006) = 0\,01 + 0\,0025 + 0\,003 = 0\,0155$.
• Volatilidad: $\sqrt{0\,0155} \approx 12\,45\%$.

Fíjate en que la volatilidad (12,45 %) está por debajo del promedio simple de las dos volatilidades de los activos ($\tfrac{20\% + 10\%}{2} = 15\%$). Ese hueco es diversificación, y vive enteramente en el término de covarianza fuera de la diagonal. Si los activos estuvieran perfectamente correlacionados ($\rho = 1$), ese término sería mayor y el hueco se desvanecería.

El problema de optimización, enunciado con llaneza

Ahora podemos escribir qué estamos resolviendo de verdad. La optimización media-varianza viene en unas cuantas variantes equivalentes, pero todas intercambian las mismas dos magnitudes: recompensa ($w^\top\mu$) y riesgo ($w^\top\Sigma w$).

Variante 1 — minimizar el riesgo para un rendimiento objetivo. Elige la cartera de menor varianza que alcance un rendimiento esperado exigido $r^*$: $\min_w\ w^\top \Sigma\, w \quad \text{s.a.}\quad w^\top \mu = r^*,\ \ \mathbf{1}^\top w = 1.$

Variante 2 — maximizar el equilibrio riesgo–recompensa. Maximiza una utilidad que premia el rendimiento y penaliza la varianza, donde $\lambda$ es tu aversión al riesgo: $\max_w\ w^\top \mu - \tfrac{\lambda}{2}\, w^\top \Sigma\, w \quad \text{s.a.}\quad \mathbf{1}^\top w = 1.$

Variante 3 — maximizar la ratio de Sharpe. Encuentra la cartera con el mejor rendimiento por unidad de riesgo (la cartera de tangencia): $\max_w\ \frac{w^\top \mu - r_f}{\sqrt{w^\top \Sigma\, w}}.$

A medida que barres el rendimiento objetivo $r^*$ (o la aversión al riesgo $\lambda$) por todos los valores, las soluciones trazan la frontera eficiente que ya conoces. Así que “resolver para los pesos” significa: fija lo que quieres (un objetivo, una aversión al riesgo o el mejor Sharpe), luego encuentra el vector de pesos que lo logra sin desperdicio.

Qué pinta tiene “resolver” — y por qué no es solo enchufar y listo

Para el caso más simple (sin restricciones de venta en corto ni de caja, solo la restricción presupuestaria), el optimizador tiene una solución en forma cerrada: una fórmula pulcra que involucra la inversa de la matriz de covarianzas, $\Sigma^{-1}$. La conocerás en detalle en la lección 3. El hecho estructural clave — y la semilla de todos los problemas por venir — es que la respuesta depende de invertir Σ.

Por qué importa eso. Invertir una matriz es exquisitamente sensible a los errores cuando la matriz está mal condicionada — cuando algunos activos son casi redundantes (muy correlacionados). Una Σ casi singular tiene una inversa con entradas gigantescas, y esas entradas gigantescas multiplican tus errores de estimación hasta convertirlos en pesos gigantescos e inestables. Esta es la razón mecánica por la que el optimizador ingenuo se comporta tan mal, y es por lo que la segunda mitad de este curso se dedica a domar Σ (con contracción) y a restringir $w$ (con cotas y penalizaciones).

Cuando entran las restricciones, la forma cerrada normalmente desaparece y resuelves numéricamente con un programa cuadrático — una rutina de optimización estándar, rápida y fiable que maneja “los pesos suman 1”, “sin cortos”, “no más del 5 % en un solo nombre”, “rotación por debajo del 20 %”, etc., todo a la vez. Las mesas reales casi siempre ejecutan la versión restringida y numérica, nunca la forma cerrada cruda.

Recapitulando

Una cartera es un vector de pesos $w$ que suma uno — los pesos negativos son cortos, todo no negativo es solo-largo — y ese vector es lo concreto que operas. Un optimizador media-varianza toma dos entradas: rendimientos esperados $\mu$ (recompensa) y la matriz de covarianzas $\Sigma$ (riesgo y comovimiento), de las que $\mathbb{E}[r_p] = w^\top\mu$ y $\mathrm{Var}(r_p) = w^\top\Sigma w$. Resolver para los pesos significa minimizar el riesgo para un rendimiento objetivo, maximizar una utilidad rendimiento-menos-riesgo o maximizar la ratio de Sharpe — y barrer el objetivo traza la frontera eficiente. La solución limpia sin restricciones depende de $\Sigma^{-1}$, que es exactamente por lo que una $\Sigma$ casi singular y plagada de error vuelve frágil al optimizador ingenuo — el problema estrella que este curso diagnosticará y luego arreglará con restricciones y contracción.

A continuación — la matriz de covarianzas en sí: cómo se construye, por qué debe ser semidefinida positiva, cómo su mero tamaño explota con el número de activos, y qué significa de verdad “mal condicionada”. Σ es el corazón palpitante de todo cálculo de riesgo de este curso, y entender su estructura es el requisito para entender por qué la optimización es tan frágil — y cómo arreglarla.