Mecánica media-varianza

Ahora calculamos. Con la matriz de covarianzas entendida, esta lección convierte el problema de optimización en pesos concretos. Dos carteras están en el corazón de todo: la cartera de mínima varianza — la mezcla más tranquila posible, que no necesita ninguna previsión de rendimiento — y la cartera de máximo Sharpe (tangencia) — la mejor apuesta ajustada al riesgo, el punto donde la línea del mercado de capitales toca la frontera. Veremos de dónde salen sus soluciones en forma cerrada (el lagrangiano, $\Sigma^{-1}$), y trabajaremos a mano un ejemplo completo de dos activos para que las fórmulas dejen de ser símbolos y empiecen a ser números. Este es el núcleo mecánico del curso; las lecciones posteriores tratan todas de por qué estas fórmulas limpias se portan mal con datos reales.

La cartera de mínima varianza

Analogía. Olvídate por un momento de perseguir rendimientos. Imagina que solo quieres el viaje más suave — la cartera que menos se tambalea, gane lo que gane cada activo. Esa es la cartera de mínima varianza: la punta más a la izquierda de la frontera eficiente, el único punto donde el riesgo toca fondo.

El problema. Minimizar la varianza de la cartera sujeta solo a la restricción de presupuesto: $\min_w\ w^\top \Sigma\, w \quad \text{s.a.}\quad \mathbf{1}^\top w = 1.$ Fíjate en que μ nunca aparece. Para resolverlo, forma el lagrangiano (la varianza más un multiplicador $\lambda$ por la restricción): $\mathcal{L} = w^\top \Sigma\, w - \lambda(\mathbf{1}^\top w - 1).$ Iguala la derivada a cero ($2\Sigma w = \lambda \mathbf{1}$), despeja $w$ e impón la restricción. El resultado son los pesos de mínima varianza en forma cerrada: $w_{\min} = \frac{\Sigma^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}^\top \Sigma^{-1}\mathbf{1}}.$ En palabras: aplica $\Sigma^{-1}$ a un vector de unos y luego reescala para que los pesos sumen uno.

Ejemplo resuelto (dos activos). Usa $\sigma_1 = 20\%$, $\sigma_2 = 10\%$, $\rho = 0\,3$, así que $\Sigma = \begin{pmatrix} 0\,04 & 0\,006 \\ 0\,006 & 0\,01 \end{pmatrix}.$ Para dos activos hay una fórmula abreviada y limpia: $w_1 = \frac{\sigma_2^2 - \sigma_1\sigma_2\rho}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2\sigma_1\sigma_2\rho}.$ Sustituye: numerador $= 0\,01 - 0\,006 = 0\,004$; denominador $= 0\,04 + 0\,01 - 2(0\,006) = 0\,05 - 0\,012 = 0\,038$. Así que $w_1 = \frac{0\,004}{0\,038} \approx 0\,105, \qquad w_2 = 1 - 0\,105 = 0\,895.$ La cartera de mínima varianza tiene en torno a un 10,5 % en el activo volátil y un 89,5 % en el tranquilo — sensato, pues el activo de baja volatilidad merece la mayor parte del peso. Su varianza: $w^\top\Sigma w = 0\,105^2(0\,04) + 0\,895^2(0\,01) + 2(0\,105)(0\,895)(0\,006) \approx 0\,000441 + 0\,008012 + 0\,001127 \approx 0\,00958$, así que la volatilidad $\approx \sqrt{0\,00958} \approx 9\,79\%$ — por debajo incluso del 10 % del activo más tranquilo, gracias a la diversificación.

La cartera de máximo Sharpe (tangencia)

Analogía. Ahora trae de vuelta la recompensa. De todas las carteras que podrías construir, ¿cuál da el máximo rendimiento por unidad de riesgo? Traza una línea desde el tipo libre de riesgo y gírala hacia arriba hasta que apenas roce la frontera — ese punto de contacto es la cartera de tangencia, y la línea más empinada de este tipo es la línea del mercado de capitales. Su pendiente es la mayor ratio de Sharpe alcanzable.

El problema. Maximizar la ratio de Sharpe $\max_w\ \frac{w^\top\mu - r_f}{\sqrt{w^\top\Sigma w}} \quad \text{s.a.}\quad \mathbf{1}^\top w = 1.$ Trabajando la optimización (define los rendimientos en exceso $\mu^e = \mu - r_f\mathbf{1}$), los pesos de tangencia tienen la forma cerrada limpia $w_{\tan} = \frac{\Sigma^{-1}\mu^e}{\mathbf{1}^\top\Sigma^{-1}\mu^e}.$ Compárala con la de mínima varianza: el único cambio es que el vector de unos se reemplaza por el vector de rendimientos en exceso $\mu^e$. La mínima varianza pregunta “¿qué es lo más tranquilo?”; la tangencia pregunta “¿qué es lo más tranquilo por unidad de recompensa esperada?” — así que se inclina hacia activos de alto exceso de rendimiento y bajo riesgo.

Ejemplo resuelto (dos activos). Mantén $\Sigma = \begin{pmatrix}0\,04 & 0\,006\\ 0\,006 & 0\,01\end{pmatrix}$, sea $\mu = (8\%, 4\%)$ y $r_f = 2\%$, así que los rendimientos en exceso $\mu^e = (6\%, 2\%) = (0\,06, 0\,02)$.

Primero calcula $\Sigma^{-1}$. El determinante es $0\,04\times0\,01 - 0\,006^2 = 0\,0004 - 0\,000036 = 0\,000364$. Así que $\Sigma^{-1} = \frac{1}{0\,000364}\begin{pmatrix} 0\,01 & -0\,006 \\ -0\,006 & 0\,04 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 27\,47 & -16\,48 \\ -16\,48 & 109\,89 \end{pmatrix}.$ Ahora $\Sigma^{-1}\mu^e$:

• Fila 1: $27\,47(0\,06) + (-16\,48)(0\,02) = 1\,648 - 0\,330 = 1\,319$.
• Fila 2: $-16\,48(0\,06) + 109\,89(0\,02) = -0\,989 + 2\,198 = 1\,209$.

Suma $= 1\,319 + 1\,209 = 2\,528$. Normaliza: $w_{\tan} = \left(\frac{1\,319}{2\,528},\ \frac{1\,209}{2\,528}\right) \approx (0\,522,\ 0\,478).$ La cartera de tangencia tiene en torno a un 52 % en el activo de alto rendimiento y un 48 % en el de bajo — mucho más agresiva que el reparto 10,5/89,5 de la mínima varianza, porque ahora el optimizador paga por el mayor exceso de rendimiento del primer activo.

El lagrangiano y la estructura de la solución

¿Por qué un lagrangiano? Estamos minimizando (o maximizando) sujetos a una restricción (los pesos suman 1, quizá también alcanzar un rendimiento objetivo). El truco del lagrangiano convierte un problema restringido en uno no restringido añadiendo un término de penalización $-\lambda(\text{restricción})$; en el óptimo, el gradiente del objetivo es paralelo al gradiente de la restricción, que el multiplicador $\lambda$ mide.

La cartera eficiente general. Para un rendimiento objetivo $r^*$ con ambas restricciones ($\mathbf{1}^\top w = 1$ y $w^\top\mu = r^*$), la solución es una combinación lineal de dos carteras fijas — un hermoso resultado llamado separación en dos fondos: $w^*(r^*) = a + b\, r^*,$ donde $a$ y $b$ son vectores fijos construidos a partir de $\Sigma^{-1}$, $\mathbf{1}$ y $\mu$. A medida que deslizas $r^*$, los pesos se mueven a lo largo de una recta en el espacio de pesos, barriendo toda la frontera eficiente. Toda cartera eficiente es una mezcla de solo dos — digamos, la cartera de mínima varianza y la de tangencia. Por eso esas dos son los objetos fundamentales.

El hilo unificador. La mínima varianza ($\Sigma^{-1}\mathbf{1}$), la tangencia ($\Sigma^{-1}\mu^e$) y la cartera eficiente general pasan todas por $\Sigma^{-1}$. Esa dependencia compartida es justo la razón por la que una $\Sigma$ ruidosa y mal condicionada envenena a cada una de ellas — y por la que los arreglos de lecciones posteriores (contraer $\Sigma$, restringir $w$) ayudan a todas a la vez.

Una trampa común: confundir las dos carteras

Trampa — “la cartera óptima es la de menor riesgo”. No. La cartera de menor riesgo es la de mínima varianza, pero normalmente no es la mejor apuesta ajustada al riesgo. A menos que de verdad quieras el mínimo riesgo por encima de todo, la cartera de tangencia (máximo Sharpe) es la que combinar con efectivo para alcanzar tu objetivo de riesgo. La mínima varianza es una esquina de la frontera; la tangencia es el punto de giro de la línea del mercado de capitales. Coinciden solo en el caso degenerado en que todos los rendimientos en exceso esperados son iguales.

Trampa — “más activos siempre baja el riesgo de la mínima varianza”. Añadir activos puede bajar el riesgo de mínima varianza en teoría, pero con error de estimación una cartera de mínima varianza de 500 activos puede ser peor fuera de muestra que una de 30, porque has inyectado 125 000 parámetros ruidosos. La fórmula limpia supone que Σ es conocida; la realidad te cobra por cada parámetro que estimas.

Atándolo todo

La cartera de mínima varianza ($w = \Sigma^{-1}\mathbf{1}$, normalizada) es la mezcla más tranquila y depende solo de Σ — esquivando la ruidosa estimación de μ, por lo que es robusta y empíricamente fuerte. La cartera de tangencia / máximo Sharpe ($w = \Sigma^{-1}\mu^e$, normalizada) es la mejor apuesta ajustada al riesgo — el punto de contacto de la línea del mercado de capitales — y necesita tanto μ como Σ. Ambas surgen de un lagrangiano que integra la restricción de presupuesto en el objetivo, y ambas invocan $\Sigma^{-1}$. Por la separación en dos fondos, toda cartera eficiente es una mezcla lineal de estas dos, así que son los bloques fundamentales. La dependencia compartida de $\Sigma^{-1}$ es exactamente por lo que una matriz de covarianzas ruidosa desestabiliza a toda la familia — el problema que diagnosticamos a continuación.

A continuación — error de estimación e inestabilidad: hemos construido la maquinaria limpia, así que ahora la rompemos. Veremos exactamente por qué alimentar μ y Σ estimadas a estas fórmulas con $\Sigma^{-1}$ convierte al optimizador en un “maximizador de errores”, por qué los pesos oscilan violentamente de muestra en muestra, y por qué la cartera “óptima” afilada como una navaja a menudo pierde frente a una tonta de pesos iguales fuera de muestra.