Valoración por coste de mantenimiento: por qué el precio forward es el que es

Hemos dicho tres veces ya que el precio forward $K$ normalmente no iguala al precio de contado de hoy — y que se fija para que el contrato sea justo. Es hora de cumplir esa promesa. Hay un único argumento precioso que clava el precio forward justo exactamente, sin adivinar hacia dónde van los precios: el coste de mantenimiento (cost of carry). La conclusión es que un precio forward es solo el precio de contado de hoy más el coste de mantener el activo hasta la entrega — y si es cualquier otra cosa, aparece una máquina de dinero sin riesgo y los operadores la machacan de vuelta a su sitio. Esta lección es ese argumento, de principio a fin.

La idea central: dos formas de tener oro dentro de un año

Analogía. Supongamos que queréis con seguridad un lingote de oro en vuestra caja fuerte dentro de un año. Hay dos rutas para llegar ahí:

• Ruta A — comprar a plazo. Entrar hoy en un forward para comprar el lingote dentro de un año al precio $K$. No pagar nada ahora; pagar $K$ en la entrega.
• Ruta B — comprar y mantener. Comprar el lingote hoy al contado $S_0$, pidiendo prestado el efectivo, y simplemente mantenerlo el año. Al final del año poseéis el lingote y debéis devolver el préstamo con intereses.

Ambas rutas os dejan con un lingote de oro idéntico dentro de un año. Si dos estrategias entregan exactamente lo mismo, deben costar lo mismo hoy — de lo contrario podríais hacer la barata y deshacer la cara para obtener dinero gratis. Esa igualdad es la fórmula de valoración del forward. Desglosémosla.

Derivar la fórmula por réplica

Definición. El coste de mantenimiento es todo lo que cuesta (neto) mantener el subyacente desde ahora hasta la entrega: el coste de financiación (interés sobre el dinero inmovilizado) más almacenaje y seguro, menos cualquier ingreso que el activo genere mientras lo mantenéis (dividendos, intereses) y menos cualquier rendimiento de conveniencia (el beneficio intangible de tener el activo físico a mano). Para un activo simple sin ingresos con tipo $r$ a lo largo del tiempo $T$ y capitalización continua:

Para el caso general, agrupad los costes de mantenimiento $c$ (financiación + almacenaje) y los rendimientos $y$ (ingreso + conveniencia), como tipos anuales:

En palabras que no olvidaréis: forward = contado + coste de mantenerlo − beneficio de tenerlo. Cuando dominan los costes de mantenimiento, el forward se sitúa por encima del contado (el activo está en contango); cuando dominan los rendimientos, el forward se sitúa por debajo del contado (backwardation) — las mismas formas que dibujamos en la lección siguiente.

El deslizador de abajo construye exactamente esto. Partid del contado, apilad la financiación y el almacenaje, restad el rendimiento de conveniencia, y ved cómo se ensambla el precio forward justo — y cómo cae por debajo del contado cuando el rendimiento de conveniencia se hace lo bastante grande:

Ejemplo resuelto — un activo financiero sin ingresos

Una acción sin dividendos cotiza a $S_0 = 100$ $. El tipo sin riesgo es del 6% anual (usad capitalización anual simple para mayor claridad), y un forward vence dentro de un año. Almacenaje y seguro son cero (es solo una acción).

El precio forward justo a un año es 106 $. ¿Por qué exactamente 106 $ y no, digamos, 110 $? Porque a 110 $ aparece un almuerzo gratis — que ahora destaparemos.

El mecanismo de imposición: el arbitraje cash-and-carry

La fórmula no es una sugerencia educada; la imponen arbitrajistas despiadados. Dos operaciones hacen la vigilancia.

Cuando el forward está demasiado CARO → cash-and-carry

Digamos que el forward cotiza a 110 $, por encima del justo 106 $. Un arbitrajista se lanza:

1. Pedir prestados 100 $ al 6% y comprar la acción hoy al contado.
2. Ponerse corto en el forward a 110 $, fijando un precio de venta.
3. Al vencimiento: entregar la acción por 110 $, devolver el préstamo de 106 $ (100 $ + 6 $ de interés).
4. Embolsar 4 $, sin riesgo, sin poner dinero propio.

Todos los arbitrajistas hacen esto, vendiendo forwards en masa — lo que empuja el precio forward hacia abajo hasta que el beneficio de 4 $ se esfuma en 106 $. Esa presión vendedora es la fórmula imponiéndose.

Cuando el forward está demasiado BARATO → cash-and-carry inverso

Ahora supongamos que el forward cotiza a 103 $, por debajo del justo. Hacedlo al revés:

1. Vender en corto la acción hoy por 100 $ e invertir los 100 $ al 6%.
2. Poneros largos en el forward a 103 $, fijando un precio de compra.
3. Al vencimiento: la inversión vale 106 $; recomprar la acción vía el forward por 103 $ y devolverla para cerrar el corto.
4. Embolsar 3 $, sin riesgo.

Los compradores enjambran el forward barato, empujando su precio hacia arriba a 106 $. Entre los dos arbitrajes, el forward se aprieta hasta su valor justo por ambos lados — y por eso, en mercados líquidos, esencialmente nunca veis un forward alejarse del coste de mantenimiento.

Ejemplo resuelto — una acción con dividendos

El ingreso que paga el activo reduce el precio forward, porque mantener el activo (la ruta de mantenimiento) os hace ganar ese ingreso, abaratando el mantenimiento. Una acción a $S_0 = 200$ $, tipo sin riesgo 5%, un año, paga un dividendo de 6 $ durante el año. Tratando el dividendo como una cantidad de efectivo conocida $D$ recibida:

Tomad el valor actual del dividendo de 6 $ como aproximadamente 5,71 $ (descontado al 5%): $F_0 = (200 - 5.71) \times 1.05 \approx 204.00$, es decir unos 204,00 $. Comparad con los 210 $ que obtendríais si la acción no pagara nada ($200 \times 1.05$): los 6 $ de dividendos quitaron unos 6 $ del forward. La intuición: un titular de forward no recibe los dividendos (aún no posee la acción), así que no debería tener que pagar por ellos — el precio forward se descuenta en consecuencia.

Ejemplo resuelto — una materia prima almacenable y el rendimiento de conveniencia

Las materias primas añaden dos giros: costes de almacenaje (que suben el forward) y un rendimiento de conveniencia (que lo baja). El contado del crudo es 80 $, el tipo a un año es del 5%, almacenaje y seguro suman un 3% anual, y el rendimiento de conveniencia — la prima de tener petróleo real a mano para una refinería que no puede quedarse seca — es del 4% anual.

El mantenimiento neto es $5\% + 3\% - 4\% = 4\%$, así que el forward está levemente por encima del contado. Subid el rendimiento de conveniencia hasta, digamos, el 10% (una escasez genuina — todos necesitan petróleo ahora) y el mantenimiento neto se vuelve negativo: $5\% + 3\% - 10\% = -2\%$, dando un forward de $80 \times 0.98 = 78.40$, es decir 78,40 $, por debajo del contado. Ese cambio de signo es precisamente el interruptor contango→backwardation que conoceréis en la lección siguiente, y el deslizador de rendimiento de conveniencia del gráfico de arriba es exactamente esta palanca.

Atando cabos

El precio forward justo no es una conjetura ni un pronóstico — es lo que hace que «comprar a plazo» cueste lo mismo que «comprar ahora y mantenerlo». Esa igualdad da $F_0 = S_0 e^{(c-y)T}$: el contado de hoy, crecido por el coste neto de mantenimiento — financiación más almacenaje, menos ingreso y rendimiento de conveniencia. La fórmula la imponen el arbitraje cash-and-carry (cuando el forward está demasiado caro) y su inverso (cuando demasiado barato), que dejan a los operadores extraer beneficio sin riesgo hasta que el precio vuelve. El ingreso y el rendimiento de conveniencia arrastran el forward por debajo del contado; la financiación y el almacenaje lo empujan por encima. Y nada aquí predice el futuro — valora mantenimiento, no profecía. Aquí está todo el argumento en una tarjeta:

Un repaso mixto antes de leer toda la curva forward:

Puntos clave