Estimar las exposiciones a factores

Hasta ahora habéis conocido el reparto de factores —mercado, tamaño, valor, momentum, rentabilidad, inversión— y la idea de que un factor es una cartera cuya rentabilidad recompensa el soportar un riesgo compartido. Pero nombrar factores es la parte fácil. La parte difícil, la que decide el dinero, es la medición: dadas las rentabilidades mensuales reales de un fondo, ¿cuánto de cada factor lleva? ¿Su rentabilidad sobrante es habilidad real o solo ruido estadístico? Y ¿estos factores ganan siquiera una prima, o alguien hizo backtest hasta convencerse de un espejismo?

Todo eso es econometría, y se divide limpiamente en dos regresiones que plantean dos preguntas distintas. Una regresión de series temporales mira un activo a lo largo del tiempo y pregunta: «¿cuáles son las exposiciones de este activo y su alfa es real?». Una regresión de corte transversal mira muchos activos en un instante y pregunta: «en todo el mercado, ¿cargar sobre este factor realmente paga?». Confundirlas y nada en este campo tiene sentido; mantenerlas separadas y el famoso procedimiento de Fama–MacBeth sale de forma natural. Vamos a medir.

Regresión de series temporales: las exposiciones de un activo

Analogía. Imaginad un único velero a lo largo de una temporada. Unos días lo empuja el viento (el mercado), otros la marea (el factor valor), otros una corriente (el tamaño). Una regresión de series temporales observa ese único barco a lo largo de muchos días y pregunta: ¿con qué fuerza responde a cada fuerza, y queda algún movimiento sobrante que las fuerzas conocidas no puedan explicar?

Definición. Para un único activo $i$, regresas su rentabilidad en exceso (rentabilidad menos el tipo libre de riesgo, $R_i - R_f$) sobre las rentabilidades contemporáneas de los factores:

$R_i - R_f = \alpha_i + \sum_k \beta_{i,k} F_k + \varepsilon_i.$

Cada $\beta_{i,k}$ es una carga (también llamada exposición a un factor): la pendiente sobre el factor $k$, que te dice cuántas unidades de ese factor lleva el activo. La ordenada en el origen $\alpha_i$ es el alfa del modelo — la rentabilidad media que sobra después de pagar a cada factor lo suyo. El residuo $\varepsilon_i$ es el meneo que ningún factor explica.

Leyendo la imagen. Con un solo factor esto es simplemente una nube de la rentabilidad en exceso del activo (vertical) frente a la rentabilidad del factor (horizontal), con una recta ajustada que la atraviesa. La pendiente es la carga y la ordenada en el origen es el alfa — exactamente la geometría de abajo. Alterna los preajustes para ver cómo la recta de un activo defensivo (de carga baja) queda plana, la de un activo que sigue al mercado se sitúa en pendiente uno y la de un activo agresivo oscila con fuerza; cambia el control de alfa para elevar toda la recta añadiendo habilidad por encima.

Qué mide aquí el R². Junto con las cargas y el alfa, la regresión escupe un $R^2$ — la fracción de la varianza de la rentabilidad del activo que explican los factores. Una cartera de renta variable amplia y diversificada es casi únicamente exposición a factores, así que su $R^2$ con un buen modelo multifactor suele ser 0,90 o más. Una sola acción, zarandeada por noticias específicas de la empresa, tiene mucho más meneo idiosincrásico, así que su $R^2$ es mucho más bajo — a menudo de 0,3 a 0,5. La diversificación literalmente eleva el $R^2$ al promediar la parte idiosincrásica.

¿Es real el alfa? Una estimación puntual de $\alpha_i = 2\%$ anual no significa nada sin un estadístico t — el alfa dividido por su error estándar. Como criterio aproximado, quieres $|t| \gtrsim 2$ antes de tratar un alfa como distinguible de la suerte. Y los errores estándar no pueden ser ingenuos: las rentabilidades mensuales son heterocedásticas (la volatilidad se agrupa) y autocorrelacionadas (este mes se relaciona con el anterior), lo que desinfla los errores estándar ordinarios y hace que alfas basura parezcan significativos. Los profesionales usan errores estándar de Newey–West, que inflan las barras de error para tener en cuenta esa estructura, de modo que el estadístico t en el que confías es el honesto, el de error mayor.

Lo que el R² dice y lo que no dice

Esta es la confusión más cara de todo el análisis de factores, y merece su propia sección: el R² mide la varianza explicada, no la rentabilidad media ganada. Las dos son ortogonales — casi totalmente ajenas entre sí. Conocer el $R^2$ de un fondo no te dice esencialmente nada sobre si gana dinero más allá de sus factores.

El caso vívido. Imagina un fondo que, calladamente, mantiene exactamente la misma cesta que el factor valor. Sus rentabilidades siguen a ese factor tic a tic, así que su $R^2$ de series temporales es 0,99 — un ajuste precioso. Pero como es el factor, la ordenada en el origen de la regresión es $\alpha = 0$: no queda rentabilidad sobrante una vez contabilizado el factor que imita en secreto. Eso es un fondo índice encubierto — R² alto, alfa cero, cobrando comisiones de gestión activa por un sesgo pasivo. El R² alto no es prueba de habilidad; es prueba de que el fondo no tiene habilidad independiente alguna, solo exposición.

El caso opuesto. Ahora imagina una estrategia genuinamente hábil y ecléctica cuyas apuestas no encajan limpiamente con ningún factor conocido. Su $R^2$ podría ser un modesto 0,40 — los factores explican menos de la mitad de su varianza — y sin embargo su alfa es grande y significativo. R² bajo, alfa real. El alfa vive en la parte no explicada, que es justo la parte que hace que el R² sea pequeño.

Así que dale la vuelta a tu intuición: un R² alto es lo contrario del alfa, no una señal de él. Un R² alto dice «este activo queda bien descrito por los factores», lo que significa «queda poco margen para la habilidad». El alfa es lo que sobrevive en el residuo; un R² que sube significa un residuo que se encoge.

Regresión de corte transversal: ¿están valoradas las cargas?

La regresión de series temporales respondía «¿qué lleva este activo y es real su alfa?». No puede responder a una pregunta distinta e igual de vital: en todo el universo de activos, cargar más fuertemente sobre un factor realmente te hace ganar más rentabilidad?. Un factor solo merece el nombre si su prima es positiva — si a los activos que cargan sobre él se les paga por ello. Eso es una afirmación sobre el corte transversal, así que necesita una regresión de corte transversal.

Analogía. Olvida el único barco a lo largo de una temporada. Alinea todos los barcos del puerto deportivo una tarde y representa, para cada uno, su superficie de vela frente a su velocidad media. Si las velas más grandes van sistemáticamente más rápido, la «superficie de vela» está valorada; la pendiente de esa nube te dice cuántos nudos extra compra una unidad extra de vela. Esa pendiente es una prima.

Definición. Usando las cargas $\hat\beta_{i,k}$ ya estimadas en las regresiones de series temporales del primer paso, regresas las rentabilidades medias en exceso de los activos sobre esas cargas — entre activos:

$\bar R_i = \lambda_0 + \sum_k \lambda_k \hat\beta_{i,k} + u_i.$

Ahora la unidad de observación es un activo (o una cartera de prueba), no una fecha. Las pendientes $\lambda_k$ estiman las primas de riesgo de los factores — la rentabilidad media extra ganada por unidad de carga sobre el factor $k$. La ordenada en el origen $\lambda_0$ es el error de valoración: la rentabilidad media común a todos los activos que no explica ninguna carga (debería estar cerca de cero si el modelo valora bien el corte transversal).

Esta es una regresión genuinamente distinta de la de series temporales, aunque ambas involucren «betas». Series temporales: un activo, muchas fechas, pregunta por la exposición y el alfa. Corte transversal: muchos activos, las cargas como variable X, pregunta si esas cargas se recompensan.

Leyendo la imagen. Cada punto de abajo es una cartera de prueba: su carga al factor va en horizontal, su rentabilidad media en exceso realizada va en vertical. La pendiente de la recta de mejor ajuste es la prima estimada (cuánta rentabilidad media gana una unidad extra de carga) y su ordenada en el origen es el error de valoración. Un factor valorado inclina la recta claramente hacia arriba — las carteras de carga alta de verdad ganan más.

Fama–MacBeth en dos pasos

En 1973, Eugene Fama y James MacBeth convirtieron las dos regresiones en una receta limpia de dos pasos que sigue siendo el caballo de batalla para estimar las primas de los factores y su significatividad. El truco resuelve un problema estadístico espinoso —las rentabilidades de los activos están correlacionadas entre sí en cualquier instante, lo que destroza los errores estándar de corte transversal ingenuos— y lo hace de forma casi elegante.

Paso 1 — series temporales (estimar las cargas). Para cada activo, ejecuta la regresión de series temporales de la primera sección para estimar sus cargas $\hat\beta_{i,k}$. Tras este paso, cada activo tiene un conjunto fijo de exposiciones a factores.

Paso 2 — corte transversal, una regresión por periodo. Aquí está lo ingenioso. Para cada mes $t$ por separado, ejecuta una regresión de corte transversal de las rentabilidades de ese mes entre activos sobre las cargas:

$R_{i,t} = \lambda_{0,t} + \sum_k \lambda_{k,t}\,\hat\beta_{i,k} + u_{i,t}.$

Eso te da no una estimación de prima, sino toda una serie temporal de estimaciones mensuales de prima $\hat\lambda_{k,t}$ — un número por factor por mes.

Combina. La prima estimada es simplemente el promedio temporal de esas pendientes mensuales,

$\bar\lambda_k = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T} \hat\lambda_{k,t},$

y —esta es la parte elegante— su estadístico t sale del error estándar de esa serie temporal de estimaciones mensuales. Al tratar la pendiente de corte transversal de cada mes como una observación y promediar entre meses, la correlación de corte transversal dentro de un mes se absorbe automáticamente: nunca tienes que modelarla, porque solo promedias entre meses más o menos independientes.

Ejemplo resuelto — probar una prima de valor (HML). Supón que el Paso 2 da solo cuatro pendientes mensuales de HML (un estudio real usa cientos; cuatro mantienen la aritmética a la vista):

Recorre la aritmética (trabajando en unidades de porcentaje):

• Prima media: $\bar\lambda = (0.4 - 0.2 + 0.6 + 0.0)/4 = 0.8/4 = 0.2\%$ al mes.
• Varianza muestral: divide la suma de desviaciones al cuadrado entre $T - 1$: $0.40 / (4 - 1) = 0.1333$.
• Desviación típica: $\sqrt{0.1333} = 0.365\%$ al mes.
• Error estándar de la media: $\mathrm{SE} = 0.365 / \sqrt{4} = 0.365 / 2 = 0.183\%$.
• Estadístico t: $t = \bar\lambda / \mathrm{SE} = 0.2 / 0.183 \approx 1.1$.

Un estadístico t de alrededor de 1,1 está muy por debajo del criterio aproximado de 2, así que en esta muestra (deliberadamente diminuta) la prima de valor no es estadísticamente significativa — la media de +0,2 %/mes queda anegada por el ruido de mes a mes. La prima podría ser real, pero cuatro meses no pueden demostrarlo. Ejecuta el mismo procedimiento sobre 600 meses y el $\sqrt T$ del denominador encoge el error estándar drásticamente, que es justo por lo que los estudios canónicos de Fama–French usan décadas de datos.

Leer los estadísticos t con honestidad

Toda la maquinaria existe para separar la señal del ruido, y el estadístico t es el veredicto. Una prima de factor no es «real» porque su promedio sea positivo — solo es creíble cuando ese promedio es grande en relación con su bamboleo de mes a mes. Una prima de +0,2 %/mes suena a victoria limpia hasta que te das cuenta de que los meses van de −0,2 % a +0,6 %; esa dispersión es el ruido contra el que mide el estadístico t.

Por qué las ventanas cortas engañan. Con un $T$ pequeño, el $\sqrt{T}$ del error estándar es pequeño, así que las barras de error son anchas y hasta una prima genuina puede fallar el criterio t = 2 (como hizo nuestro ejemplo de cuatro meses). La trampa inversa es igual de peligrosa: minas suficientes factores candidatos sobre una ventana corta y algunos superarán t = 2 por pura suerte. Por eso el campo exige ahora listones más altos (algunos defienden t > 3) para los factores recién descubiertos — implícitamente estás probando cientos de ellos, así que el listón de «no es suerte» debe subir.

El error que hay que enterrar. Atando todo el tema: un R² alto no significa que hayas encontrado alfa ni una buena inversión. El R² dice que los factores explican la varianza del activo; calla sobre la rentabilidad media, y un fondo índice encubierto de ajuste perfecto tiene R² cercano a 1 y alfa de cero. La habilidad vive en un alfa significativo (series temporales) o en una prima significativa y positiva (corte transversal) — nunca en el R². Mide lo correcto, exige un estadístico t real y no dejes que un ajuste bonito te engañe.

Juntándolo todo

Estimar las exposiciones a factores son dos regresiones haciendo dos trabajos. La regresión de series temporales ($R_i - R_f = \alpha_i + \sum_k \beta_{i,k} F_k + \varepsilon_i$) toma un activo a lo largo de muchas fechas y devuelve sus cargas (pendientes), su alfa (ordenada en el origen — rentabilidad que ningún factor explica) y su $R^2$ (varianza explicada, no rentabilidad media — las carteras diversificadas se sitúan en 0,90+, las acciones individuales mucho más bajo). Un $R^2$ alto es lo contrario del alfa: un fondo índice encubierto ajusta a la perfección y no gana nada extra. La regresión de corte transversal ($\bar R_i = \lambda_0 + \sum_k \lambda_k \hat\beta_{i,k} + u_i$) toma muchos activos en un instante, usa las cargas como entradas y devuelve las primas (pendientes) y el error de valoración (ordenada en el origen) — respondiendo si cargar sobre un factor realmente se recompensa. Fama–MacBeth los encadena: estima las cargas (Paso 1), ejecuta una regresión de corte transversal cada mes para obtener una serie temporal de estimaciones de prima (Paso 2), y luego toma su promedio y lo juzga por el estadístico t del error estándar de esa serie. Nuestro ejemplo de valor de cuatro meses dio una prima de +0,2 %/mes pero solo $t \approx 1.1$ — no significativa, porque el $\sqrt{T}$ del error estándar castiga las muestras cortas. Exige siempre un estadístico t honesto, corregido por Newey–West, nunca un $R^2$ bonito.

A continuación, pondremos estas estimaciones a trabajar — convirtiendo las cargas medidas y un alfa fino y ganado a pulso en un veredicto sobre si las rentabilidades de una estrategia son habilidad o mera beta de factor reempaquetada, y observando cómo las primas de factor publicadas decaen una vez que todo el mercado se amontona sobre ellas.