Teoría del valor extremo

Ya sabes detectar una cola gruesa y leer su índice $\alpha$. Pero ¿cómo decir algo riguroso sobre una pérdida mayor que cualquiera de tus datos — un evento de una vez cada 200 años a partir de 20 años de historia? Suena a adivinación, y sin embargo hay una rama de la estadística construida justo para eso: la teoría del valor extremo (TVE). Igual que el teorema central del límite dice que las sumas convergen a la normal con independencia de la distribución subyacente, la TVE dice que los máximos y los sobrepasos convergen a una pequeña familia universal con independencia de la distribución subyacente. Esa universalidad es lo que te deja extrapolar con honestidad más allá de tus datos. Esta lección cubre los dos pilares de la TVE — máximos por bloques → GEV y picos sobre umbral → GPD — unificados por un único número, el parámetro de forma $\xi$.

Pilar 1: máximos por bloques y la GEV

Analogía. Olvida el ruido diario; pregunta solo «¿cuál fue el peor día de cada año?». Alinea esos peores-días anuales a lo largo de décadas y forman su propia distribución — la distribución de los máximos. La TVE dice que esa distribución tiene una forma universal, sin importar cómo fueran los rendimientos diarios por debajo.

Definición. Trocea tus datos en bloques iguales (digamos, uno por año) y toma el máximo de cada bloque. A medida que crece el tamaño del bloque, la distribución (debidamente reescalada) de estos máximos converge a la distribución de valor extremo generalizada (GEV), cuya función de distribución es $G(x) = \exp\!\left\{-\left[1 + \xi\left(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]^{-1/\xi}\right\},$ con localización $\mu$, escala $\sigma > 0$, y el todopoderoso parámetro de forma $\xi$. Este es el teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko — el análogo del TCL en la TVE.

La forma $\xi$ divide la GEV en tres familias clásicas:

La conexión con la lección anterior: para $\xi > 0$, el índice de cola es $\alpha = 1/\xi$. Una forma de $\xi = 0,33$ significa $\alpha = 3$. Así que $\xi$ y $\alpha$ son dos dialectos del mismo hecho sobre el grosor de la cola.

Pilar 2: picos sobre umbral y la GPD

Los máximos por bloques son intuitivos pero derrochadores — tiran el segundo peor día de un año aunque fuera una casi catástrofe, y conservan el mejor-de-un-año-tranquilo aunque no fuera nada. El caballo de batalla moderno usa mejor los datos.

Analogía. En lugar de «el peor día de cada año», pregunta «cada día que rebasó este nivel de alarma — ¿cuánto lo sobrepasó?». Conservas todos los grandes eventos, no solo uno por bloque, y estudias los excesos.

Definición. Fija un umbral alto $u$. Mira los sobrepasos $X - u$ para todas las observaciones con $X > u$. El teorema de Pickands–Balkema–de Haan dice que, a medida que $u$ sube, la distribución de estos excesos converge a la distribución de Pareto generalizada (GPD): $F(y) = 1 - \left(1 + \frac{\xi y}{\beta}\right)^{-1/\xi}, \qquad y = x - u \ge 0,$ con escala $\beta > 0$ y el mismo parámetro de forma $\xi$ que la GEV. Los dos teoremas están profundamente ligados: si los máximos por bloques son GEV con forma $\xi$, los sobrepasos de umbral son GPD con idéntico $\xi$. El parámetro de forma es el invariante que sobrevive a ambos enfoques.

Los mismos tres regímenes:

• $\xi > 0$: cola pesada, la GPD se vuelve una ley de potencias ($\alpha = 1/\xi$).
• $\xi = 0$: la GPD se reduce a una cola exponencial simple.
• $\xi < 0$: una cola con un extremo derecho finito en $u - \beta/\xi$.

Este enfoque POT (picos sobre umbral, peaks-over-threshold) es el que de hecho usan bancos y aseguradoras para modelar pérdidas operacionales, siniestros catastróficos y riesgo de cola de mercado, porque exprime mucha más información de datos limitados que los máximos por bloques.

El parámetro de forma ξ: el único número que clasifica cualquier cola

Ambos pilares te entregan el mismo $\xi$, y es la salida más importante de un análisis de TVE. Responde a la pregunta que ningún examen visual de un histograma puede contestar: ¿la cola es acotada, exponencial o pesada?

• $\xi < 0$ — cola acotada. Existe un máximo rígido que la variable no puede superar. Útil para magnitudes con un techo natural (p. ej. un porcentaje que no puede pasar de 100, un pago acotado).
• $\xi = 0$ — cola exponencial. Ligera pero no acotada; los extremos son raros y encogen deprisa. La normal y la lognormal caen aquí.
• $\xi > 0$ — cola pesada. No acotada con decaimiento de ley de potencias; el índice de cola es $\alpha = 1/\xi$. Mayor $\xi$ = cola más pesada = más aterradora. Los rendimientos financieros típicamente estiman $\xi$ entre unos 0,2 y 0,5.

Ejemplo resuelto — qué te compra ξ. Supón que un POT sobre las pérdidas diarias da $\xi = 0,25$, $\beta = 0,8\%$, umbral $u = 2\%$, y los sobrepasos ocurren en una fracción $\zeta = 0,05$ de los días. Ahora puedes extrapolar un cuantil de cola lejana que los datos nunca alcanzaron. La fórmula de TVE para el cuantil $p$ (VaR) es $\text{VaR}_p = u + \frac{\beta}{\xi}\left[\left(\frac{1-p}{\zeta}\right)^{-\xi} - 1\right].$ Para un nivel del 99,9 % ($p = 0,999$, así que $1-p = 0,001$): $\frac{1-p}{\zeta} = \frac{0,001}{0,05} = 0,02, \qquad 0,02^{-0,25} \approx 2,66.$ Así que $\text{VaR}_{0,999} = 0,02 + \frac{0,008}{0,25}(2,66 - 1) = 0,02 + 0,032 \times 1,66 \approx 0,02 + 0,053 = 0,073$, es decir, una pérdida en un día de en torno al 7,3 %. Estimaste una pérdida de una vez cada 1000 días a partir de unos pocos años de datos — el truco de magia central de la TVE, posible porque la forma GPD está garantizada por la teoría, no supuesta.

La elección del umbral: el juicio de valor inevitable

Ambos métodos de TVE comparten una decisión peliaguda — ¿dónde empieza la «cola»? Para el POT es el umbral $u$; para los máximos por bloques es el tamaño del bloque. El compromiso es idéntico e ineludible:

• Umbral demasiado alto (bloque demasiado grande): sobreviven pocos sobrepasos, así que el ajuste GPD/GEV es insesgado pero ruidoso — alta varianza, intervalos de confianza anchos.
• Umbral demasiado bajo (bloque demasiado pequeño): has metido la mano en el cuerpo, donde la familia de cola límite no aplica, así que el ajuste es de baja varianza pero sesgado — preciso pero equivocado.

El remedio estándar es el gráfico de exceso medio (mean-excess plot) (y el gráfico de Hill de la lección anterior): para una cola GPD verdadera, el sobrepaso medio por encima de $u$ es lineal en $u$. Así que subes $u$ y buscas el punto donde el gráfico de exceso medio se endereza en una recta — ahí es donde entra en vigor la aproximación GPD, y ahí fijas tu umbral. Es parte ciencia, parte oficio, y analistas razonables discrepan. La conclusión honesta: la TVE te da una forma fundamentada para la cola, pero no puede conjurar certeza a partir del puñado de puntos de datos que, por definición, contiene la cola.

A continuación — déficit esperado más allá del VaR — convertimos el modelo de cola de la TVE en un mejor número de riesgo. El VaR señala dónde empieza la cola pero se niega a decir cuán profunda es; el déficit esperado promedia toda la cola, satisface los axiomas de coherencia que el VaR viola, y se empareja maravillosamente con la GPD que acabas de ajustar.