Déficit esperado más allá del VaR

El VaR responde a «¿cómo de malo es un mal día?» con un único cuantil — la pérdida que no superarás el 99 % de las veces. Pero tiene un punto ciego de manual que ya has entrevisto: te dice dónde empieza la cola y nada sobre cuán profunda llega. Un VaR de 10 M$ es compatible con un peor caso de 11 M$ o de 500 M$; el VaR no sabe distinguirlos. Esta lección lo arregla con el déficit esperado (ES, también llamado CVaR) — la pérdida media dado que estás en la cola — y muestra por qué el ES no es solo «un número mayor» sino uno mejor comportado: satisface los axiomas de coherencia, incluida la subaditividad (respeta la diversificación), que el VaR puede violar. Este es el número al que Basilea trasladó el capital bancario, y ahora verás exactamente por qué.

El punto ciego del VaR: una línea, no una profundidad

Analogía. El VaR es un medidor de inundación que te dice que el agua llegará al segundo escalón 99 días de cada 100 — pero no dice nada sobre si el día centésimo trae agua por los tobillos o un muro que se traga la casa. Marca el umbral del desastre y luego enmudece sobre su magnitud.

Repaso de la definición. El valor en riesgo (VaR) a confianza $c$ es el cuantil de pérdida: $\text{VaR}_c =$ la pérdida más pequeña $\ell$ tal que $P(\text{Pérdida} \le \ell) = c$. Al $c = 99\%$ es la pérdida que superas solo el 1 % de las veces. Por construcción, es la frontera de la cola — e informa de un único punto de la distribución, punto.

Por qué es peligroso. Todo lo que está más allá del VaR — la forma y la profundidad enteras de la cola — le es invisible. Dos carteras pueden compartir un VaR mientras una tiene una cola suave y la otra un precipicio. Peor aún, la ceguera del VaR invita a la manipulación: una mesa puede vender opciones muy fuera de dinero o asumir una exposición a catástrofes oculta que deja intacto el percentil 99 mientras carga el percentil 99,9 de ruina. El VaR bendecirá la posición. Esto no es hipotético — es la razón estructural por la que un régimen de riesgo basado solo en VaR puede acumular en silencio bombas de cola.

Déficit esperado: promediar el desastre

Analogía. Si el VaR te dice que la inundación llegará al segundo escalón, el ES te dice la profundidad media del agua los días en que sí se inunda. Deja de marcar el umbral y empieza a medir la catástrofe en sí.

Definición. El déficit esperado a confianza $c$ es la pérdida media condicionada a estar en la cola más allá del VaR: $\text{ES}_c = E[\,\text{Pérdida} \mid \text{Pérdida} \ge \text{VaR}_c\,].$ De forma equivalente, es el promedio de todos los VaR a niveles de confianza superiores: $\text{ES}_c = \frac{1}{1-c}\int_c^1 \text{VaR}_u\, du.$ Esa segunda forma es la intuición clave: el ES no lee un único punto de la cola — integra sobre toda la cola, ponderando cada desenlace peor que el VaR. Así que el ES es siempre al menos tan grande como el VaR (y estrictamente mayor siempre que la cola tenga algo de profundidad), porque un promedio de cosas todas $\ge$ VaR no puede quedar por debajo del VaR.

Nombres. El ES también se llama VaR condicional (CVaR), VaR de cola (TVaR) o pérdida de cola esperada. Son el mismo objeto para distribuciones de pérdida continuas.

Ejemplo resuelto — caso normal. Para una pérdida normal estándar, las formas cerradas son $\text{VaR}_c = z_c$ y $\text{ES}_c = \phi(z_c)/(1-c)$, donde $\phi$ es la densidad normal y $z_c$ el cuantil. Al $c = 97,5\%$: $z_{0,975} = 1,96$, $\phi(1,96) \approx 0,0584$, así que $\text{ES}_{0,975} = \frac{0,0584}{0,025} \approx 2,34.$ Así que un ES al 97,5 % de 2,34σ es de magnitud aproximadamente igual a un VaR al 99 % de 2,33σ. No es una coincidencia — Basilea III cambió deliberadamente el viejo VaR al 99 % por un ES al 97,5 % precisamente porque, bajo normalidad, coinciden, así que el cambio no es una subida sigilosa de capital sino una mejora consciente de la forma: idéntica para colas finas, automáticamente más conservadora para las gruesas.

Coherencia: por qué el ES es la medida de riesgo «correcta»

Hay una razón más profunda para preferir el ES que «ve más de la cola». Una medida de riesgo debería obedecer unos pocos axiomas de sentido común — y el ES lo hace mientras que el VaR famosamente falla uno.

Definición — una medida de riesgo coherente (Artzner, Delbaen, Eber, Heath) satisface cuatro axiomas:

1. Monotonía: si la cartera A siempre pierde al menos tanto como B, entonces $\rho(A) \ge \rho(B)$. (Peores desenlaces → más riesgo.)
2. Invarianza por traslación: añadir $$k$ de efectivo reduce el riesgo exactamente en $$k$. (El efectivo es un colchón.)
3. Homogeneidad positiva: duplicar cada posición duplica el riesgo: $\rho(\lambda A) = \lambda\rho(A)$. (Escala linealmente.)
4. Subaditividad: $\rho(A + B) \le \rho(A) + \rho(B)$. La diversificación solo puede ayudar — el riesgo del libro combinado nunca supera la suma de las partes.

El ES satisface los cuatro. El VaR puede violar la subaditividad — y eso es el factor decisivo.

Por qué importa la subaditividad. La subaditividad es el enunciado matemático de «la diversificación reduce el riesgo». Si una medida de riesgo puede aumentar al combinar dos libros — penalizando la diversificación — es patológica: podría empujar a una firma a dividir una cartera diversificada para rebajar su riesgo declarado, lo opuesto a la prudencia. Una medida de riesgo que no respeta la diversificación no puede usarse para agregar riesgo entre mesas, que es todo el trabajo de una medida a nivel de firma.

Una violación de la subaditividad resuelta

Veamos al VaR fallar con el ejemplo más limpio posible — dos bonos independientes con riesgo de impago.

Planteamiento. Cada bono paga un pequeño cupón pero tiene un 4 % de probabilidad de una gran pérdida por impago. En concreto, cada bono pierde $100 de forma independiente con probabilidad del 4 % y gana $2 con probabilidad del 96 %. Considera el VaR al 95 % (así que nos importa el peor 5 %).

Cada bono por separado. La probabilidad de la pérdida de $100 es del 4 %, menor que la cola del 5 %. Así que el cuantil del 95 % de la pérdida de cada bono cae en la región sin impago: el VaR al 95 % de un bono es solo $$-2$ (una ganancia de $2, es decir, pérdida negativa). El VaR dice que cada bono por separado es esencialmente sin riesgo al 95 %.

La cartera con ambos. Ahora mantén ambos. La probabilidad de que al menos uno impague es $1 - 0,96^2 = 1 - 0,9216 = 0,0784$, es decir, el 7,84 % — ahora por encima de la cola del 5 %. Así que el cuantil del 95 % cae en la región de impago: con un impago pierdes $100 - 2 = 98$, es decir, $98. El VaR al 95 % del libro combinado es de unos $98.

La violación. Suma de los VaR individuales: $(-2) + (-2) = -4$, es decir, $$-4$ (una ganancia). VaR combinado: $+98$, es decir, $98 (una pérdida). Así que $\text{VaR}(A+B) = 98 \;>\; \text{VaR}(A) + \text{VaR}(B) = -4,$ en dólares. Diversificar hizo explotar el VaR. Eso es la violación de la subaditividad — el VaR penalizó una diversificación perfectamente sensata. El ES no haría esto: como promedia sobre toda la cola (incluidos los escenarios de doble impago), registra correctamente el riesgo de impago de cada bono incluso cuando queda justo fuera del corte del 5 %, y el ES combinado se mantiene por debajo de la suma. Este único ejemplo es por qué los teóricos desconfían del VaR y los reguladores migraron al ES.

Déficit esperado basado en TVE

El ES brilla de verdad cuando se fusiona con la cola GPD de la lección anterior, porque entonces puedes calcular el ES mucho más allá de tus datos.

El pulcro resultado de la GPD. Si la cola por encima del umbral es GPD con forma $\xi$ (y $\xi < 1$, para que exista la media), entonces para un nivel de confianza en la cola, $\frac{\text{ES}_c}{\text{VaR}_c} = \frac{1}{1-\xi} + \frac{\beta - \xi u}{(1-\xi)\,\text{VaR}_c}.$ El término dominante es el pulcro cociente $\dfrac{1}{1-\xi}$: para una cola de pura ley de potencias, el ES es solo el VaR escalado por $1/(1-\xi)$. Cuanto más pesada la cola (mayor $\xi$), mayor el multiplicador — exactamente el comportamiento correcto.

Ejemplo resuelto. Toma el ajuste de TVE de la lección anterior: $\xi = 0,25$, y un VaR al 99,9 % que calculamos en torno al 7,3 % (una pérdida de 7,3 M$ sobre 100 M$). El multiplicador del ES a primer orden es $\frac{1}{1-\xi} = \frac{1}{1-0,25} = \frac{1}{0,75} \approx 1,33.$ Así que $\text{ES}_{0,999} \approx 1,33 \times 7,3\% \approx 9,7\%$, es decir, una pérdida media de unos 9,7 M$ dado que estás en esa región del peor 0,1 %. Fíjate en la brecha: el VaR decía 7,3 M$, pero la pérdida típica cuando lo rebasas es de 9,7 M$ — un tercio peor. Si $\xi$ fuera un más aterrador 0,5, el multiplicador sería $1/0,5 = 2$, duplicando el VaR a 14,6 M$. El índice de cola controla directamente cuánto peor es el ES que el VaR — un resumen de un número de «cómo de malo es lo malo, de media».

A continuación — cópulas y dependencia de cola — dejamos las colas de un solo activo y afrontamos cómo se desploman los activos juntos. La correlación, resulta, es una amiga de buen tiempo: los activos pueden parecer levemente ligados día a día y sin embargo caer al unísono durante una crisis. Las cópulas separan «cómo se comporta cada activo» de «cómo se mueven juntos», y la dependencia de cola captura el agrupamiento de «todo va hacia uno» que destruye la diversificación justo cuando la necesitas.