La fórmula de producto constante: x · y = k

La lección anterior os dejó con una promesa: un AMM pone precio a las operaciones contra un pool usando una fórmula, y esa fórmula es todo el truco de magia. Aquí la tenéis, en toda su anticlimática gloria:

$x \cdot y = k$

Dos reservas. Las multiplicáis. Mantenéis la respuesta constante. Esa única línea decide el precio de cada swap, por qué las operaciones grandes cuestan más, por qué el pool nunca se puede quedar seco y cómo cobran los proveedores de liquidez. Es la multiplicación más trascendental de las finanzas descentralizadas — y en cuanto hace clic, el resto de los AMM son solo notas al pie. Vamos a hacer que haga clic.

El invariante: mantén el producto constante

Llamad a las dos reservas $x$ e $y$ — digamos que $x$ es el ETH del pool e $y$ es el USDC. El pool vive según una sola regla:

$x \cdot y = k$

donde $k$ es un número fijo, el invariante. A un swap se le permite cambiar $x$ y cambiar $y$ tanto como quiera — pero debe dejar su producto $k$ sin cambios. Metéis un token dentro (esa reserva sube), sacáis el otro token fuera (esa reserva baja), y el contrato elige exactamente cuánto sale para que el producto siga siendo igual a $k$.

Pensadlo como un balancín con una regla muy concreta: los dos asientos pueden moverse libremente, pero el área del rectángulo que trazan está atornillada a una constante. Empujad un lado hacia abajo y el otro tiene que subir — y no en igual medida, sino en lo que haga falta para mantener el producto fijo.

Metamos nuestros números. Un pool de 100 ETH y 200.000 USDC tiene:

$k = 100 \times 200000 = 20{,}000{,}000$

Esos 20 millones son el carné de identidad del pool. Cada estado legal de este pool — cada combinación de ETH y USDC en la que puede estar tras cualquier secuencia de swaps — se sitúa sobre la curva donde $x \cdot y = 20{,}000{,}000$.

El precio spot = el cociente de las reservas

Entonces, ¿dónde está el precio? Es el cociente de las dos reservas. El precio spot del ETH en términos de USDC es:

$\text{precio} = \frac{y}{x} = \frac{\text{reserva de USDC}}{\text{reserva de ETH}}$

Para nuestro pool:

$\text{precio} = \frac{200000}{100} = 2000$

Un ETH se cotiza a $2000. Intuitivamente: hay 2000 USDC en el pool por cada 1 ETH, así que el pool los valora a 2000 contra 1. Este es el precio spot — el precio para una operación infinitesimalmente pequeña, la pendiente de la curva en el punto actual del pool. En el instante en que operáis una cantidad real y finita, el cociente se desplaza y el precio que pagáis de verdad se aleja de él. Esa brecha es toda la historia de la siguiente sección.

Un swap recorre el pool a lo largo de la curva

Aquí está la imagen geométrica que lo hace todo intuitivo. Reordenad el invariante:

$y = \frac{k}{x}$

Eso es una hipérbola — una curva que se precipita pronunciadamente por la izquierda, se aplana en el medio y se ciñe a los ejes en los extremos. Cada estado posible del pool es un único punto que se desliza por esta curva. Un swap no salta el punto a algún sitio nuevo; lo recorre a lo largo de la hipérbola desde las reservas viejas hasta las nuevas.

Para hacer un swap, vendéis una cantidad $\Delta x$ del token X al pool. Las nuevas reservas son:

• Nueva reserva de X: $x' = x + \Delta x$ (añadisteis X)
• Nueva reserva de Y: $y' = \dfrac{k}{x'}$ (forzada por el invariante)
• Y que recibís: $\Delta y = y - y'$ (la caída de la reserva de Y)

Trabajemos un ejemplo real. Queréis comprar ETH añadiendo 2.000 USDC. Aquí el ETH es el token que sale (X) y el USDC el que entra (Y), así que lo más limpio es seguir la reserva de USDC como aquella a la que añadimos:

• Reservas viejas: 100 ETH, 200.000 USDC, con $k = 20{,}000{,}000$.
• Añadid 2.000 USDC → nueva reserva de USDC $y' = 200000 + 2000 = 202000$.
• El invariante fuerza la nueva reserva de ETH: $x' = \dfrac{k}{y'} = \dfrac{20000000}{202000} \approx 99{,}0099$.
• ETH que recibís: $100 - 99{,}0099 \approx 0{,}990$ ETH.

Así que 2.000 USDC os compraron unos 0,990 ETH. ¿Qué precio pagasteis de verdad?

$\text{precio medio} = \frac{2000}{0.990} \approx 2020$

Pagasteis unos $2020 por ETH — ya peor que el precio spot de $2000 que veíais antes de operar, aunque solo moviérais el pool un par de miles de dólares. Y el nuevo precio spot del pool también se ha movido:

$\text{precio nuevo} = \frac{202000}{99.0099} \approx 2040$

La siguiente persona que compre ETH parte de $2040, no de $2000. Vuestra operación empujó el precio hacia arriba, y se queda arriba hasta que alguien opere en sentido contrario. Arrastrad el deslizador de abajo y observad cómo el punto del pool se arrastra por la curva — las lecturas muestran vuestro precio medio divergiendo del spot a medida que la operación crece.

Por qué las operaciones grandes pagan peores precios

Fijaos en el patrón del ejemplo resuelto: una operación diminuta paga ≈ spot, pero el precio que de verdad obtenéis se degrada a medida que la operación crece. Eso no es un fallo — sale directamente de la forma de la curva. La hipérbola es convexa: cuanto más adentro empujáis una reserva, más empinado se vuelve el compromiso, así que cada unidad adicional que compráis cuesta más que la anterior.

Una rápida idea de la escala, todo desde el mismo pool de 100 ETH / 200.000 USDC:

Gastad el 1 % del pool y apenas lo notáis ($2020 frente a $2000). Gastad la mitad del pool y pagáis un 50 % por encima del spot. La lección: operaciones pequeñas ≈ precio spot; operaciones grandes pagan mucho más, y la penalización se acelera. Este empeoramiento es la semilla del impacto en precio / deslizamiento (slippage), que tiene su propia lección completa (lección 4) — por ahora, interiorizad que es la curva, no una comisión, lo que hace que el tamaño salga caro.

La comisión: cómo cobran de verdad los LP

Hasta ahora la matemática ha sido sin fricción, y un pool sin fricción no pagaría nada a sus proveedores de liquidez. Los AMM reales añaden una comisión de swap. La comisión clásica de Uniswap v2 es del 0,3 %, y el mecanismo es deliciosamente sencillo: la comisión se descrema de vuestro input y se deja dentro del pool en lugar de operarse contra la curva.

Concretamente, cuando añadís 2.000 USDC con una comisión del 0,3 %:

• La comisión es $0.003 \times 2000 = 6$ USDC.
• Solo el 99,7 % de vuestro input — 1.994 USDC — opera de verdad contra la curva y determina vuestro ETH de salida.
• Los 6 USDC de comisión se depositan en el pool de todos modos.

Como los tokens de comisión se quedan en el pool sin comprar ningún ETH de salida, el pool termina cada swap conteniendo un poco más de lo que el invariante exigía estrictamente — así que $k$ no se mantiene perfectamente constante, sino que sube un pelín en cada swap. Ese crecimiento lento e implacable de $k$ es exactamente el ingreso de los LP: su participación en el pool representa ahora un montón mayor de reservas del que pusieron. Cada operación engorda el pool un poco, y los LP poseen una porción del engorde. (Por esto el ”$x \cdot y = k$ se mantiene constante” de la lección 1 venía con un casi en voz baja — las comisiones lo empujan hacia arriba.)

Puntos clave

A continuación: los proveedores de liquidez y los tokens LP — quién llena de verdad el pool, qué reciben a cambio y cómo ese $k$ que trepa se convierte en su nómina.