Fundamentos cuánticos para finanzas

Todo discurso de venta de finanzas cuánticas se apoya en cuatro palabras — cúbit, superposición, entrelazamiento, puerta — y en la promesa de que suman una comida gratis exponencial. No lo hacen. Pero no podéis auditar una afirmación de “ventaja cuántica en valoración de opciones” si esas cuatro palabras son niebla, así que esta lección las convierte en intuición práctica. No la versión del físico, con gimnasia bra-ket y teoría de la medida en espacios de Hilbert — la versión del quant: lo justo de maquinaria para saber qué puede y qué no puede hacer un ordenador cuántico, y de cuál de las dos máquinas muy distintas estáis hablando siquiera.

Aquí va la tesis por adelantado: un ordenador cuántico no es un procesador paralelo mágico que prueba todas las respuestas a la vez y os entrega la mejor. Es un dispositivo que prepara una delicada nube de posibilidades y luego — mediante una interferencia cuidadosamente dispuesta — hace que la respuesta que queréis suene fuerte y que todo lo demás quede en silencio, de modo que una sola medición tenga muchas probabilidades de devolverla. Todo el juego es contabilidad de amplitudes. Pillad esa única idea y el resto del curso (la aceleración cuadrática de Monte Carlo, QAOA, el muro de carga de datos) encaja en su sitio.

El cúbit frente al bit

Analogía. Un bit es un interruptor de la luz: arriba o abajo, encendido o apagado, fin de la historia. Un cúbit se parece más a una moneda girando antes de caer. Mientras gira no es genuinamente ni cara ni cruz — lleva una propensión hacia cada una — y en el instante en que toca la mesa se compromete con exactamente una cara. El giro es la superposición; la caída es la medición.

Definición. El estado de un cúbit es una superposición de los dos estados base |0⟩ y |1⟩:

$|\psi\rangle = a\,|0\rangle + b\,|1\rangle, \qquad |a|^2 + |b|^2 = 1.$

Los números $a$ y $b$ son amplitudes (números complejos, en general). No son probabilidades — eleváis al cuadrado sus magnitudes para obtener probabilidades. Cuando medís el cúbit en la base |0⟩/|1⟩, obtenéis el resultado 0 con probabilidad $|a|^2$ y el resultado 1 con probabilidad $|b|^2$, y el estado colapsa al instante a aquel que visteis. La normalización $|a|^2 + |b|^2 = 1$ solo dice “las probabilidades de los dos resultados suman 1”.

Ejemplo resuelto. Tomad el estado de un cúbit más famoso, la superposición equilibrada:

$|\psi\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\,|0\rangle + \tfrac{1}{\sqrt{2}}\,|1\rangle, \qquad a = b = \tfrac{1}{\sqrt{2}}.$

Comprobad primero la normalización: $|a|^2 + |b|^2 = \left(\tfrac{1}{\sqrt 2}\right)^2 + \left(\tfrac{1}{\sqrt 2}\right)^2 = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} = 1.$ Bien. Ahora las probabilidades de medición: $P(0) = |a|^2 = \tfrac{1}{2}$ y $P(1) = |b|^2 = \tfrac{1}{2}$ — una moneda 50/50 perfecta. Fijaos en que la amplitud era $\tfrac{1}{\sqrt 2} \approx 0.707$, no $0.5$; la elevais al cuadrado para llegar al 50% que esperabais. Tomad un estado desigual, digamos $a = \tfrac{\sqrt 3}{2}$ y $b = \tfrac{1}{2}$, y obtenéis $P(0) = \tfrac{3}{4} = 75\%$ y $P(1) = \tfrac{1}{4} = 25\%$ — de nuevo los cuadrados, y de nuevo suman 1.

Por qué importa en finanzas

Las amplitudes pueden ser negativas (o complejas), y las probabilidades no — ese signo es la fuente entera de la ventaja cuántica. Dos caminos al mismo resultado con amplitudes $+0.5$ y $-0.5$ se cancelan (interferencia destructiva) a probabilidad cero; las probabilidades clásicas, siempre positivas, solo pueden acumularse. Toda aceleración posterior en este curso — el decaimiento del error de Monte Carlo de $1/N$ de la estimación de amplitud en especial — se extrae de disponer las amplitudes de modo que las respuestas equivocadas se cancelen y la correcta sobreviva. Sin amplitudes negativas, no hay ventaja.

Superposición y la afirmación de “2ⁿ estados a la vez”

Analogía. Imaginad una orquesta gigante donde cada respuesta posible a vuestro problema es un músico tocando una nota. En superposición, todos tocan a la vez — un acorde ensordecedor que contiene cada candidata. Pero se os permite exactamente una grabación, y un micrófono captura la nota que suene más fuerte. La computación cuántica no es “oír a cada músico por separado”. Es dirigir: disponer la música para que la interferencia destructiva silencie las notas equivocadas y la interferencia constructiva haga crecer la correcta, de modo que la única nota que vuestro micrófono atrape sea, con abrumadora probabilidad, la respuesta.

Definición. Con $n$ cúbits, el estado vive en un espacio de $2^n$ estados base, y la superposición general es

$|\psi\rangle = \sum_{x=0}^{2^n - 1} c_x\, |x\rangle, \qquad \sum_{x} |c_x|^2 = 1,$

donde cada $|x\rangle$ es una de las $2^n$ posibles cadenas de $n$ bits y $c_x$ es su amplitud. Sí, eso son exponencialmente muchas amplitudes evolucionando juntas — la fuente del titular del “poder exponencial”. Pero la regla de medición no cambia: una medición devuelve una única cadena $x$ con probabilidad $|c_x|^2$, y el resto del estado desaparece. Nunca llegáis a leer el vector entero de amplitudes. El “arte” de un algoritmo cuántico es coreografiar las amplitudes de modo que, antes de medir, $|c_x|^2$ esté cerca de 1 para el $x$ que queréis y cerca de 0 para los $2^n - 1$ que no.

Ejemplo resuelto. Tomad $n = 3$ cúbits, todos puestos en superposición equilibrada. Hay $2^3 = 8$ estados base (de 000 a 111), cada uno con amplitud $c_x = \tfrac{1}{\sqrt{8}}$. La probabilidad de medición de cada uno es $|c_x|^2 = \tfrac{1}{8} = 12.5\%$. Así que una medición ingenua es solo una cadena aleatoria uniforme de 3 bits — peor que inútil, podríais haber lanzado tres monedas. Ahora supongamos que un circuito ingenioso (estilo Grover) sube la amplitud de la cadena objetivo 101 hasta, digamos, $0.97$ mientras encoge las otras siete. Entonces $P(101) = 0.97^2 \approx 0.94$: una sola medición devuelve vuestra respuesta el 94% de las veces. Los mismos $2^n$ estados mantenidos en todo momento — lo único que cambió es quién se quedó con la amplitud. Esa redistribución es todo el trabajo.

Por qué importa en finanzas

Este es el correctivo más importante con diferencia para un público de finanzas, porque casi todo ciclo de bombo se apoya en la falacia del paralelismo gratis. Cuando lleguéis a la estimación de amplitud en la lección 2, veréis que la aceleración es cuadrática — convirtiendo el decaimiento del error de Monte Carlo de $1/\sqrt{N}$ en $1/N$ — precisamente porque está limitada por interferencia, no por magia. Y cuando los proveedores de optimización afirmen que una caja cuántica “evalúa todas las carteras a la vez”, sabréis que hay que preguntar: ¿de dónde sale en realidad la amplitud sobre la cartera óptima? Si no saben responder, la aceleración es imaginaria.

Entrelazamiento

Analogía. Imaginad dos monedas acuñadas juntas con una regla extraña: cada una gira de forma independiente y cae cara o cruz al 50/50, y sin embargo cada vez que las miráis siempre caen en caras opuestas — una cara, una cruz — sin importar lo lejos que las hayáis llevado. Ninguna moneda tiene una cara predeterminada (cada una es genuinamente 50/50 por sí sola), y sin embargo el par comparte un destino que ninguna descripción de cada moneda por separado puede captar. Ese destino compartido y no factorizable es el entrelazamiento. No hay nota oculta deslizada entre ellas ni señal volando por la sala — la correlación está horneada en el estado conjunto.

Definición. Un estado de dos cúbits está entrelazado cuando no puede factorizarse en un producto de dos estados de un solo cúbit. Un estado factorizable (separable) tiene la forma $|\psi\rangle = |\phi_A\rangle \otimes |\phi_B\rangle$. El estado entrelazado canónico, el estado de Bell, no:

$|\Phi^+\rangle = \tfrac{1}{\sqrt{2}}\big(|00\rangle + |11\rangle\big).$

Intentad escribir eso como (algo para el cúbit A) por (algo para el cúbit B) y fracasaréis — no existe tal par. La correlación vive en la descripción conjunta, no en ninguno de los cúbits.

Ejemplo resuelto. Medid el primer cúbit de $|\Phi^+\rangle$. Las amplitudes sobre |00⟩ y |11⟩ son cada una $\tfrac{1}{\sqrt 2}$, así que obtenéis el resultado 0 con probabilidad $|\tfrac{1}{\sqrt 2}|^2 = \tfrac{1}{2}$ y el resultado 1 con probabilidad $\tfrac{1}{2}$ — una moneda justa, individualmente. Pero en el instante en que veis 0 en el primer cúbit, la rama |11⟩ queda aniquilada y el estado colapsa a |00⟩, de modo que el segundo cúbit ahora es con certeza 0 ($P = 1$). Ved 1 en su lugar, y el segundo es con certeza 1. Individualmente aleatorios, perfectamente correlacionados de forma conjunta: esa es la firma que no podéis reproducir dando a cada cúbit su propia tabla de probabilidad privada.

Por qué importa en finanzas

El entrelazamiento es el recurso que hace que el espacio de estados sea genuinamente $2^n$-dimensional en lugar de $n$ monedas independientes. Sin él, $n$ cúbits no llevarían más estructura correlacionada que $n$ monedas sesgadas separadas, y no habría nada con lo que computar. Los trucos de interferencia que impulsan la estimación de amplitud y QAOA se apoyan todos en construir entrelazamiento por todo el registro. Para el quant, el gancho mental útil es correlación sin factorización clásica — el mismo instinto que usáis cuando una matriz de covarianza se niega a diagonalizar en factores independientes, llevado a un régimen que la probabilidad clásica literalmente no puede representar.

Puertas y circuitos cuánticos

Analogía. Una puerta AND clásica es una trituradora de papel: le metéis dos bits, sale uno, y nunca podéis reconstruir las entradas — se destruyó información. Una puerta cuántica se parece más a un giro de cubo de Rubik: reordena el estado de forma totalmente reversible, y el giro exactamente opuesto siempre lo deshace. Un circuito cuántico es una secuencia coreografiada de esos giros aplicados a vuestros cúbits, y solo al final del todo “abrís los ojos” — medís — y leéis los bits.

Definición. Una puerta cuántica es una operación unitaria $U$ sobre los cúbits: unitaria significa $U^\dagger U = I$, lo que garantiza que es reversible (su inversa es $U^\dagger$) y preserva la probabilidad total ($\sum |c_x|^2 = 1$ sigue siendo cierto). Puertas conocidas:

• La Hadamard ($H$) convierte |0⟩ en la superposición equilibrada $\tfrac{1}{\sqrt 2}(|0\rangle + |1\rangle)$ — crea superposición a partir de un estado definido.
• Una puerta de rotación empuja las amplitudes en un ángulo elegido, usada para cargar números y ángulos en el estado.
• La CNOT (NOT controlada) invierte un cúbit objetivo solo cuando el cúbit de control es 1 — una puerta de dos cúbits que crea entrelazamiento.

Un circuito es una secuencia de puertas aplicadas a un registro inicializado, terminando en una medición. Dos números describen el tamaño de un circuito: su anchura (cuántos cúbits) y su profundidad — el número de capas de puertas secuenciales desde la entrada hasta la medición.

Ejemplo resuelto — construir un estado de Bell en dos puertas. Empezad con ambos cúbits en |00⟩. Aplicad $H$ al primer cúbit: el estado pasa a ser $\tfrac{1}{\sqrt 2}(|00\rangle + |10\rangle)$ — el primer cúbit es ahora una superposición justa, el segundo aún 0. Ahora aplicad una CNOT con el primer cúbit como control y el segundo como objetivo: el término |00⟩ se deja en paz (el control es 0), mientras que el término |10⟩ invierte su segundo cúbit para dar |11⟩. El resultado es $\tfrac{1}{\sqrt 2}(|00\rangle + |11\rangle) = |\Phi^+\rangle$ — el estado de Bell entrelazado de la última sección, construido con profundidad 2 (Hadamard, luego CNOT). Dos puertas; un par entrelazado.

Cuándo usarlo

Pensad en puertas y profundidad siempre que evaluéis la viabilidad de un algoritmo cuántico, no solo su aceleración teórica. Dos algoritmos pueden prometer la misma respuesta; el de menor profundidad y menos puertas de dos cúbits (las ruidosas y caras) es el que podría ejecutarse de verdad en hardware a corto plazo. Cuando aparezcan la estimación de amplitud de la lección 2 y el QAOA de la lección 3, los sopesaréis en parte por la profundidad de circuito que exigen — porque la profundidad, no la inteligencia, suele ser lo que se interpone entre un resultado cuántico y una nota de prensa.

Modelo de puertas frente a recocido cuántico

Analogía. El modelo de puertas es un ordenador de propósito general — como la CPU de vuestro portátil, ejecuta cualquier algoritmo que sepáis expresar, desde valoración de opciones hasta ajedrez. El recocido cuántico es un electrodoméstico de propósito único — como una canica rodando por un paisaje accidentado hasta asentarse en el valle más bajo. La canica es fantástica en un trabajo (encontrar el punto más bajo) e inútil en todo lo demás. Pedirle a un recocedor que ejecute estimación de amplitud es como pedirle a un rodamiento que juegue al ajedrez.

Definición. Los dos paradigmas de hardware:

• El modelo de puertas construye cálculos a partir de secuencias de puertas unitarias (los circuitos de arriba). Es universal: cualquier algoritmo cuántico — la búsqueda de Grover, la factorización de Shor, la Estimación Cuántica de Amplitud (QAE), QAOA — puede expresarse como un circuito de puertas. Hardware: cúbits superconductores (IBM, Google) e iones atrapados (IonQ, Quantinuum).
• El recocido cuántico es de propósito específico. Prepara físicamente un sistema cuya energía codifica vuestro problema, y luego lo evoluciona lentamente para que se relaje a un estado de baja energía. Resuelve exactamente una forma de problema: minimizar una energía de Ising o su equivalente QUBO (Optimización Binaria Cuadrática sin Restricciones), de la forma

$\min_{x \in \{0,1\}^n} \; \sum_i h_i\, x_i + \sum_{i<j} J_{ij}\, x_i x_j.$

No puede ejecutar un circuito general. Hardware: D-Wave, con miles de cúbits — pero cúbits que solo recuecen, no aplican puertas.

Ejemplo resuelto — leyendo las dos hojas de especificaciones. Supongamos que queréis valorar opciones mediante estimación de amplitud. Eso es un algoritmo de puertas, así que un recocedor de 5.000 cúbits saca un cero en ello — máquina totalmente equivocada; necesitáis el dispositivo (mucho más pequeño) de modelo de puertas. Ahora supongamos que queréis elegir el mejor subconjunto de 10 activos de entre 50 bajo una restricción de cardinalidad — un QUBO discreto. Los miles de cúbits del recocedor se vuelven relevantes, mientras que la máquina de puertas de 127 cúbits debe emular el mismo QUBO mediante QAOA y puede quedarse sin espacio. La lección: el recuento de cúbits correcto depende enteramente de qué paradigma necesita vuestro problema, razón por la cual un único número de “¿cuántos cúbits?” os dice casi nada por sí solo.

Cuándo usarlo

Emparejad la máquina con la forma del problema. Si vuestra tarea es “estimar una esperanza o valorar un derivado”, queréis el modelo de puertas y la estimación de amplitud — el recocido no tiene nada que ofrecer. Si vuestra tarea es “elegir un subconjunto discreto para minimizar un objetivo cuadrático” (selección de activos, restricciones de tamaño de lote), una formulación QUBO abre la puerta a ambos, el recocido y el QAOA de modelo de puertas, y los comparáis — y a un solucionador clásico — de principio a fin. El instinto a cultivar: nunca dejéis que un recuento crudo de cúbits sustituya a la pregunta “¿es siquiera el tipo de máquina adecuado?”.

Repaso

Llegasteis con cuatro palabras-niebla y una promesa de comida gratis. Os vais con intuición práctica: un cúbit es una superposición $a|0\rangle + b|1\rangle$ cuyas amplitudes elevadas al cuadrado dan probabilidades de medición; la superposición mantiene $2^n$ amplitudes pero arroja una muestra, así que el juego de verdad es la interferencia que hace que la respuesta buscada suene fuerte; el entrelazamiento es correlación que ningún producto de cúbits independientes puede fingir; las puertas son giros unitarios reversibles ensamblados en circuitos cuya profundidad es el reloj contra el que corre el ruido; y el campo se divide en el universal modelo de puertas (QAE, QAOA) frente al recocido cuántico de propósito específico (minimización QUBO en D-Wave). Esa última división es vuestra brújula para el resto del curso.