Estimación de amplitud y la aceleración de Monte Carlo

Cualquier otra afirmación sobre finanzas cuánticas que oigáis es, o bien un quizás, o bien un algún día, o bien una mentira piadosa. Esta no es ninguna de las tres. La estimación de amplitud cuántica (QAE) coge la ley más tozuda de todas las finanzas computacionales — que el error de Monte Carlo encoge como uno partido por la raíz cuadrada del número de muestras — y la sustituye por uno partido por el número de muestras. Eso es una aceleración cuadrática, y es demostrable, nada de andarse por las ramas. Es la joya de la corona de todo este curso: el único lugar donde las matemáticas dicen sin ambigüedad que la máquina cuántica hace menos preguntas para obtener la misma respuesta.

Así que dedicaremos esta lección a ganarnos el derecho a estar emocionados — y luego, al final del todo, a ganarnos el derecho a ser escépticos. Porque “menos consultas en teoría” y “menos segundos en un chip real con ruido real y una factura real de carga de datos” son afirmaciones muy distintas, y la brecha entre ambas es el resto de este curso.

Si vuestro recuerdo de Monte Carlo para finanzas está borroso, desempolvadlo ahora. Toda la recompensa de QAE solo se siente sobre el telón de fondo de por qué el Monte Carlo clásico converge tan frustrantemente despacio.

El muro del Monte Carlo clásico

Analogía. El Monte Carlo clásico es un encuestador. Para estimar qué fracción de votantes prefiere a un candidato, llamáis a gente al azar y promediáis. Encuestad a 100 personas y vuestro margen de error tiene cierta anchura; para reducir a la mitad ese margen no llamáis a 200 personas — llamáis a 400. Cada dígito extra de precisión os cuesta cien veces más llamadas telefónicas. El dolor del encuestador es el dolor del quant.

Definición. Para estimar una esperanza $\mu = \mathbb{E}[f(X)]$, el Monte Carlo clásico extrae $N$ muestras independientes y las promedia. Por el teorema central del límite, el error estándar de ese promedio es

$\text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{N}},$

donde $\sigma$ es la desviación típica de $f(X)$. Por tanto, el error de estimación encoge como $1/\sqrt{N}$ — pendiente $-1/2$ en una gráfica log-log. Invirtiéndolo: para alcanzar un error objetivo $\varepsilon$ necesitáis

$N \approx \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} \;\propto\; \frac{1}{\varepsilon^2}.$

El coste crece con el cuadrado de la precisión que exigís. Este es el muro.

Ejemplo resuelto. Fijad $\sigma = 1$ por limpieza. Para alcanzar un error de $\varepsilon = 10^{-2}$ (uno por ciento) necesitáis unas $N = 1/(10^{-2})^2 = 1/10^{-4} = 10^{4}$ muestras — diez mil. Ahora queréis un dígito más, $\varepsilon = 10^{-3}$:

$N \approx \frac{1}{(10^{-3})^2} = \frac{1}{10^{-6}} = 10^{6}.$

Un millón. Un dígito extra de precisión os ha costado un aumento de 100 veces en muestras — de diez mil a un millón. Ese factor de 100 no es coincidencia; es $(10^{-2}/10^{-3})^2 = 10^2$. Elevar al cuadrado la razón de precisión es toda la historia.

Cuándo usarlo

Recurrid al Monte Carlo clásico siempre que una esperanza no tenga forma cerrada y la dimensión sea demasiado alta para una rejilla — valorar opciones dependientes de la trayectoria, agregar riesgo de cartera, propagar incertidumbre. Es el caballo de batalla por defecto precisamente porque es general y vergonzosamente paralelizable. Solo presupuestad con honestidad: cada dígito extra de precisión es una factura de cuatro veces (por medio dígito) o cien veces (por dígito completo) en muestras, y esa factura es lo que QAE promete recortar.

El resultado central de QAE: 1/sqrt(N) se vuelve 1/N

Analogía. Imaginad dos árbitros cronometrando con qué frecuencia una moneda trucada cae cara. El árbitro clásico lanza la moneda muchas veces y cuenta — y queda atrapado en el impuesto de raíz cuadrada del encuestador. La árbitra cuántica no lanza y cuenta; pone la moneda en una especie de rotación resonante cuyo ángulo codifica el sesgo directamente, y luego lee el ángulo. Leer un ángulo con precisión cuesta un esfuerzo proporcional a la precisión que queréis, no a su cuadrado. La misma pregunta, una medición fundamentalmente más barata.

Definición. Supongamos que un operador $\mathcal{A}$ prepara un estado en el que el resultado “bueno” que os importa tiene amplitud $\sqrt{a}$, de modo que la probabilidad de medirlo es exactamente $a$. Clásicamente estimaríais $a$ muestreando: preparar, medir, repetir $N$ veces, contar — error $\propto 1/\sqrt{N}$. La estimación de amplitud en cambio usa amplificación de amplitud (el motor tras el algoritmo de Grover) para estimar $a$ con error aditivo $\varepsilon$ usando un número de aplicaciones de $\mathcal{A}$ (consultas al “oráculo”) que escala como

$N_{\text{quantum}} = O\!\left(\frac{1}{\varepsilon}\right),$

frente al clásico

$N_{\text{classical}} = O\!\left(\frac{1}{\varepsilon^2}\right).$

La razón es $N_{\text{classical}} / N_{\text{quantum}} \approx 1/\varepsilon$ — el número de consultas cuánticas es la raíz cuadrada del número de muestras clásicas. En una gráfica log-log de error frente a coste, el clásico tiene pendiente $-1/2$ y el cuántico tiene pendiente $-1$. La brecha vertical creciente entre esas dos líneas es la aceleración.

Ejemplo resuelto. Exigid un error objetivo $\varepsilon = 10^{-3}$. El muestreo clásico necesita

$N_{\text{classical}} \approx \frac{1}{(10^{-3})^2} = 10^{6} \;\text{muestras},$

mientras que QAE solo necesita

$N_{\text{quantum}} \approx \frac{1}{10^{-3}} = 10^{3} \;\text{consultas}.$

Un millón frente a mil. La razón de aceleración es $10^{6}/10^{3} = 10^{3} = 1/\varepsilon$. Apretad el objetivo a $\varepsilon = 10^{-4}$ y la brecha explota a $10^{8}$ frente a $10^{4}$ — una ventaja de diez mil veces. Cuanta más precisión exigís, más desigual se vuelve la contienda, porque estáis corriendo pendiente $-1$ contra pendiente $-1/2$.

Cuándo usarlo

QAE es la herramienta siempre que vuestra cantidad de interés sea una esperanza o una probabilidad que de otro modo haríais por Monte Carlo, y necesitéis muchos dígitos de precisión. La razón de aceleración es $1/\varepsilon$, así que la ganancia es insignificante con precisión gruesa ($\varepsilon = 0{,}1$ os compra solo unas 10x) y enorme con precisión fina ($\varepsilon = 10^{-4}$ os compra 10.000x). Si solo necesitáis respuestas de dos dígitos, la aceleración cuadrática apenas importa; si vais detrás de números de riesgo ajustados o probabilidades de cola, es exactamente donde la palanca es más larga.

Cómo un pago se convierte en una amplitud

Analogía. Pensad en construir una diana a medida cuya geometría está amañada para que la probabilidad de que un dardo al azar caiga en el centro sea exactamente el número que queréis — el pago esperado de la opción. Una vez construida la diana, no lanzáis miles de dardos y contáis (eso es muestreo clásico). Le entregáis la diana a QAE, que estima la probabilidad del centro directamente y de forma mucho más barata. La astucia vive en construir la diana; la aceleración vive en cómo la leéis.

Definición. Construís, en dos etapas conceptuales, un operador $\mathcal{A}$ que actúa sobre un registro de qubits más un auxiliar:

1. Cargar la distribución. Un suboperador $\mathcal{P}$ prepara una superposición sobre los posibles resultados $x$ con amplitudes fijadas de modo que medir el registro dé el resultado $x$ con probabilidad $p(x)$ — la distribución de vuestro factor de riesgo $X$. Formalmente construye $\sum_x \sqrt{p(x)}\,\lvert x \rangle$.
2. Codificar el pago. Un segundo suboperador rota el qubit auxiliar un ángulo que depende del pago $f(x)$, de modo que condicionado al resultado $x$ el auxiliar es $\lvert 1 \rangle$ con probabilidad proporcional a $f(x)$.

Juntos, la probabilidad de medir el auxiliar en $\lvert 1 \rangle$ es

$a = \sum_x p(x)\, \tilde f(x) = \mathbb{E}\big[\tilde f(X)\big],$

donde $\tilde f$ es $f$ reescalada a $[0,1]$. Así que $a$ — la amplitud que QAE estima — es la esperanza (normalizada). Estimad $a$ con error $\varepsilon$ y habréis estimado la esperanza con error $\varepsilon$ (por el factor de reescalado), en $O(1/\varepsilon)$ consultas.

Ejemplo resuelto. Supongamos que un pago toma solo dos valores en un modelo de juguete de dos resultados: $f = 0$ con probabilidad $0{,}7$ y $f = 1$ con probabilidad $0{,}3$. Tras la carga, el auxiliar es $\lvert 1 \rangle$ con probabilidad $a = 0{,}7 \times 0 + 0{,}3 \times 1 = 0{,}3$. El pago esperado verdadero es $0{,}3$. Clásicamente prepararíais-y-mediríais $N$ veces y vuestra estimación de $0{,}3$ llevaría un error $\sqrt{0{,}3 \times 0{,}7}/\sqrt{N} \approx 0{,}458/\sqrt{N}$ — el familiar $1/\sqrt{N}$. QAE en cambio lee $a = 0{,}3$ con error $\varepsilon$ en $O(1/\varepsilon)$ consultas. El mismo $0{,}3$; precisión cuadráticamente más barata.

La maquinaria canónica, con honestidad. El QAE original envuelve esto en estimación de fase cuántica (QPE): trata el operador de amplificación de amplitud al estilo Grover como una rotación, y QPE lee su ángulo de rotación — del cual sale $a$. QPE es potente pero cara: necesita muchos qubits auxiliares extra y circuitos largos y coherentes, que el hardware ruidoso real detesta. Así que ahora existe una familia de variantes de estimación de amplitud sin QPE / iterativa (QAE iterativa, QAE por máxima verosimilitud y parientes) que recuperan el mismo escalado $O(1/\varepsilon)$ con circuitos mucho más superficiales — a costa de más rondas de medición, más simples. La aceleración titular es la misma; estas variantes son las que la hacen remotamente ejecutable en máquinas a corto plazo (NISQ).

Cuándo usarlo

Este paso de codificación es exactamente donde QAE se encuentra con vuestro problema concreto: cualquier cantidad expresable como $\mathbb{E}[f(X)]$ para una distribución que podáis cargar y un pago que podáis calcular dentro del circuito es candidata. Elegid QAE cuando (a) podáis escribir vuestro objetivo como tal esperanza, (b) podáis construir un cargador $\mathcal{P}$ razonablemente barato, y (c) necesitéis suficiente precisión para que la brecha $1/\varepsilon$ frente a $1/\varepsilon^2$ pague el sobrecoste cuántico. Si no podéis cargar la distribución de forma barata, parad — la aceleración puede no sobrevivir, como advierte la penúltima sección.

Valorar una opción europea con QAE

Analogía. El precio de una opción europea es un promedio ponderado de “lo que cobráis al vencimiento”, ponderado por cuán probable es cada precio futuro (en el mundo neutral al riesgo) y encogido por un factor de descuento. Ese es el promedio del encuestador otra vez — y el impuesto de raíz cuadrada del encuestador otra vez — lo que significa que es precisamente el tipo de promedio que QAE fue construido para estimar de forma más barata.

Definición. Una call europea con strike $K$ sobre un subyacente con precio terminal $S_T$ tiene precio

$C = e^{-rT}\, \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\!\big[\max(S_T - K,\, 0)\big],$

la esperanza neutral al riesgo descontada del pago $\max(S_T - K, 0)$. Para llevarlo a QAE, (1) cargáis la distribución neutral al riesgo de $S_T$ en el registro vía $\mathcal{P}$, (2) codificáis el pago reescalado $\max(S_T - K, 0)$ en la amplitud del auxiliar, y (3) ejecutáis la estimación de amplitud para leer $a = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[\widetilde{\max(S_T - K,0)}]$ con error $\varepsilon$ en $O(1/\varepsilon)$ consultas, luego deshacéis el reescalado y aplicáis $e^{-rT}$.

Ejemplo resuelto. Digamos que queréis el precio de la opción a una precisión relativa de $\varepsilon = 10^{-3}$ (tres dígitos, típico para una mesa a la que le importan los puntos básicos de un libro). Lado a lado:

En el objetivo de $10^{-3}$ de la mesa, la valoración clásica quema un millón de evaluaciones del pago mientras que QAE hace mil consultas — una reducción de mil veces en el número de veces que debéis evaluar el escenario del pago. Empujad a cuatro dígitos y la razón es de diez mil veces. La tabla es solo las dos leyes de escalado hechas concretas; fijaos en que la columna de aceleración es literalmente el inverso del error objetivo.

Cuándo usarlo

La valoración con QAE es más atractiva para instrumentos donde el Monte Carlo clásico ya es el método elegido y la precisión es cara: pagos dependientes de la trayectoria y exóticos (asiáticas, barrera, cesta) donde no existe forma cerrada, y donde necesitáis muchos dígitos. Para una europea vainilla con una forma cerrada de Black–Scholes no haríais Monte Carlo en absoluto, mucho menos echaríais mano de un ordenador cuántico — no hay nada que acelerar. La regla general: QAE ayuda exactamente donde el MC clásico más duele.

Riesgo: VaR y CVaR como objetivos de QAE

Analogía. Medir el riesgo de cola es como estimar con qué frecuencia un río rebasa un muro de contención, y cuán grave se pone cuando lo hace. “Con qué frecuencia” es una probabilidad de cola (el cuantil del VaR); “cuán grave cuando lo hace” es una esperanza condicional (el CVaR). Ambos son promedios sobre eventos raros — los peores para el encuestador, porque los eventos raros exigen muestras enormes para precisarse. Por tanto, la ventaja cuadrática de QAE es más amplia exactamente aquí, donde el muestreo clásico está más hambriento.

Definición. Para una pérdida $L$ a nivel de confianza $\alpha$ (digamos $99\%$):

$\text{VaR}_\alpha = \inf\{\,\ell : \mathbb{P}(L \le \ell) \ge \alpha\,\}, \qquad \text{CVaR}_\alpha = \mathbb{E}\big[\,L \mid L \ge \text{VaR}_\alpha\,\big].$

El VaR es el umbral de pérdida bajo el cual se sitúa la masa de probabilidad $\alpha$; el CVaR (déficit esperado) es la pérdida media dado que habéis superado ese umbral. Para hallar el VaR con QAE estimáis la probabilidad de cola $\mathbb{P}(L \le \ell)$ — una amplitud — para umbrales candidatos $\ell$ (una búsqueda por bisección sobre umbrales, cada uno evaluado por QAE). Para obtener el CVaR estimáis la esperanza condicional de la pérdida en la cola — de nuevo una amplitud. Ambos heredan el escalado $O(1/\varepsilon)$ en consultas frente al clásico $O(1/\varepsilon^2)$.

Ejemplo resuelto. Queréis la probabilidad de cola al $99\%$ de una pérdida de cartera con error $\varepsilon = 10^{-3}$. El Monte Carlo clásico necesita unas $N_{\text{classical}} \approx 1/(10^{-3})^2 = 10^{6}$ simulaciones de escenario para clavar esa probabilidad — y la estimación de cola rara es aún más hambrienta en la práctica porque pocos de esos millones de escenarios caen en la cola del $1\%$. QAE estima la misma amplitud de cola en $N_{\text{quantum}} \approx 1/10^{-3} = 10^{3}$ consultas — mil frente a un millón, la misma razón $1/\varepsilon = 1000\times$. Para el CVaR, ejecutáis la misma maquinaria sobre la esperanza condicional; la aceleración cuadrática se traslada sin cambios porque eso también es solo una amplitud.

Cuándo usarlo

Apuntad QAE a números de riesgo cuando necesitéis estimaciones de cola ajustadas y el MC clásico esté forzándose — VaR/CVaR de cola profunda, conjuntos de netting grandes, cálculos de capital regulatorio reejecutados constantemente. Como con la valoración, la palanca es la precisión: un VaR al $95\%$ de servilleta a dos dígitos no justificará una máquina cuántica, pero un déficit esperado al $99{,}9\%$ a cuatro dígitos, calculado de noche a lo largo de un libro enorme, es precisamente la forma de problema donde la pendiente $-1$ aplasta a la pendiente $-1/2$. Solo recordad que el cargador aún tiene que existir y ser barato.

El asterisco: cuadrática, no mágica

Analogía. Una aceleración cuadrática es como pasar de andar a ir en bici — genuinamente más rápido, llegaréis mucho antes, y en distancias largas la brecha es grande. Pero no es teletransporte. Una aceleración exponencial (lo que el bombo cuántico insinúa constantemente) sería teletransporte: convertiría un problema que tarda la edad del universo en uno que tarda un segundo. QAE no hace eso. No puede convertir una esperanza clásicamente intratable en una trivial; puede hacer una clásicamente cara-pero-factible más barata — si todos los demás costes cooperan.

Definición y la trampa. El enunciado limpio es sobre el número de consultas: QAE usa $O(1/\varepsilon)$ aplicaciones de $\mathcal{A}$ frente a las $O(1/\varepsilon^2)$ muestras clásicas. Pero el coste en tiempo de reloj (o en dólares) es

$\text{coste total} \approx (\text{número de consultas}) \times (\text{coste por consulta}) \;+\; (\text{carga} + \text{lectura} + \text{sobrecoste de manejo de errores}).$

La victoria cuadrática vive enteramente en el primer factor. Puede ser devorada por el resto:

• La carga es la asesina silenciosa. Construir $\mathcal{A}$ requiere cargar la distribución $\mathcal{P}$ en el estado cuántico. Si esa carga cuesta $O(2^n)$ o $O(N)$ puertas — como puede hacer un cargador general ingenuo — entonces cada consulta paga un coste comparable al muestreo clásico que intentabais evitar, y la ventaja $1/\varepsilon$ frente a $1/\varepsilon^2$ se evapora. La aceleración supone un cargador barato, que no es gratis para distribuciones arbitrarias.
• Ruido. En hardware NISQ real, los circuitos profundos y coherentes que el QAE canónico quiere acumulan errores rápido; podríais necesitar tantas repeticiones o tanta mitigación de errores que el escalado práctico no se parezca en nada al $O(1/\varepsilon)$ de manual.
• Lectura y constantes. La O grande oculta factores constantes y la velocidad de reloj comparativamente glacial de las puertas cuánticas de hoy frente a un FLOP clásico.

Ejemplo resuelto. Recordad que a $\varepsilon = 10^{-3}$ la victoria en número de consultas es $10^{6}$ frente a $10^{3}$ — una ventaja de $1000\times$ en consultas. Ahora supongamos que cada consulta cuántica, incluida la carga, es $10^{4}\times$ más lenta (en tiempo de reloj) que extraer una muestra clásica — totalmente plausible en hardware a corto plazo. Entonces el coste en tiempo de reloj es aproximadamente $10^{3} \times 10^{4} = 10^{7}$ “unidades de tiempo” para QAE frente a $10^{6} \times 1 = 10^{6}$ para el clásico. La máquina cuántica es ahora 10x más lenta en tiempo de reloj pese a hacer 1000x menos preguntas. La aceleración en consultas era real; simplemente no sobrevivió al contacto con el coste por consulta. Esa aritmética — ventaja en consultas frente a la penalización por consulta y por carga — es toda la pelea, y es lo que el resto de este curso dirime.

Cuándo usarlo

Invocad la aceleración cuadrática como un argumento real pero condicional: es el caso más fuerte de las finanzas cuánticas precisamente porque la victoria algorítmica está demostrada, pero siempre debéis emparejarlo con la salvedad de la carga y el ruido. Usadlo para justificar interés investigador y apuestas de largo horizonte; no lo uséis para reclamar una ventaja de producción a día de hoy. La frase honesta de una línea: “QAE necesita demostrablemente cuadráticamente menos consultas — y si eso se convierte en menos segundos depende del cargador, la lectura y el ruido del hardware, que hoy normalmente dicen que no”.

Resumen

Vinisteis queriendo una victoria cuántica honesta, y aquí está: la estimación de amplitud lee una probabilidad desconocida $a$ con error $\varepsilon$ en $O(1/\varepsilon)$ consultas, demoliendo el $O(1/\varepsilon^2)$ del Monte Carlo clásico — una aceleración cuadrática, pendiente $-1$ contra pendiente $-1/2$. Mapead cualquier esperanza a una amplitud de auxiliar y QAE valora opciones (pagos esperados descontados) y mide riesgo (probabilidades de cola del VaR, esperanzas condicionales del CVaR) con esa misma reducción de raíz cuadrada en consultas. Luego el asterisco: es cuadrática, no exponencial; presupone un cargador de distribución barato; y un teorema en número de consultas solo se vuelve una victoria en tiempo de reloj o en PnL una vez pagados la carga, la lectura y el ruido — el tema de las lecciones que vienen.