Interés simple vs. compuesto: las dos formas de crecer del dinero

Préstale a alguien $1.000 y que te devuelva $1.080 un año después — esos $80 de más son el precio que pagó por usar tu dinero. Hasta aquí, sencillo. Pero aquí está la bifurcación que decide en silencio si tus ahorros avanzan a duras penas o se convierten en una bola de nieve hacia una fortuna: ¿el interés del año que viene se cobra sobre los $1.000 originales, o sobre los $1.080 en los que ya se ha convertido? Esa única decisión — simple frente a compuesto — es la diferencia entre crecer en línea recta y crecer en una curva que se dispara hacia arriba como un palo de hockey. Vamos a separarlos.

El interés es el alquiler del dinero

Antes de separar nada, fijemos el vocabulario, porque toda la lección se sostiene sobre cuatro palabras.

Cuando prestas dinero (o lo depositas en un banco, que no es más que prestárselo al banco), estás dejando que otra persona use tu efectivo durante un tiempo. Te paga por el privilegio — exactamente igual que un inquilino paga alquiler por usar tu piso. Ese pago es el interés: el alquiler del dinero.

• Principal (P) — el trozo original de dinero que prestas o depositas. El “piso” que se alquila.
• Interés — la comisión pagada por el uso de ese dinero. El “alquiler”.
• Tipo (r) — el porcentaje del principal que se cobra por periodo, escrito como decimal. Un 8% anual significa $r = 0.08$.
• Periodo / tiempo (t) — cuánto tiempo está prestado el dinero, medido en las unidades del tipo. Si $r$ es anual, $t$ va en años.

La única pregunta que queda es sobre qué se cobra ese alquiler — y ahí es donde el simple y el compuesto se separan.

Interés simple: un alquiler plano

El interés simple es la versión sin florituras: el alquiler se cobra siempre sobre el principal original, periodo tras periodo, para siempre. El interés del año 1 no llega a empezar a ganar su propio interés — simplemente se queda ahí. El resultado es una línea recta perfecta de crecimiento.

El interés que ganas a lo largo de todo el tramo es principal × tipo × tiempo:

$\text{Interés} = P \cdot r \cdot t$

Y el saldo final — el valor futuro (VF), es decir, lo que vale el dinero al final — es el principal más ese interés:

$\text{VF} = P(1 + r \cdot t)$

Ejemplo resuelto

Depositas $1.000 al 8% de interés simple y lo dejas 10 años.

Primero el interés:

$\text{Interés} = 1000 \times 0.08 \times 10 = \$800$

Después el saldo final:

$\text{VF} = 1000 \,(1 + 0.08 \times 10) = 1000 \times 1.8 = \$1{,}800$

Cada año ganas exactamente $0.08 \times 1000$, es decir $80, diez veces, para un total de $800. El año 1 es idéntico al año 10. Dibújalo y obtienes una línea recta como una regla que sube $80 al año — sin curva, sin aceleración, sin drama.

Cuándo importa

El interés simple es un modelo justo siempre que el interés se pague y se embolse en lugar de dejarse acumular — por ejemplo, un bono que te manda cada año un cupón fijo que te gastas. Nada se queda en la cuenta para ganar más, así que el crecimiento se mantiene lineal. En el momento en que el interés se retiene y se le deja correr, has dejado atrás el interés simple.

Interés compuesto: alquiler sobre el alquiler

Ahora la versión que mueve el mundo financiero. El interés compuesto cobra el alquiler sobre el saldo actual completo — el principal más todo el interés acumulado hasta el momento. El interés del año pasado deja de ser un espectador pasivo y empieza a ganar su propio interés. Interés sobre el interés. El saldo ya no sube en línea recta; se curva hacia arriba, cada vez más rápido, porque la base sobre la que se cobra no para de hincharse.

El valor futuro después de $t$ periodos es:

$\text{VF} = P(1 + r)^{t}$

Ese pequeño exponente $t$ — en lugar de la multiplicación $r \cdot t$ del interés simple — lo es todo. Multiplicar hace crecer las cosas en línea; elevar a una potencia las hace crecer exponencialmente.

Ejemplo resuelto — mismo planteamiento, final muy distinto

Toma el mismísimo depósito: $1.000 al 8%, esta vez capitalizado durante 10 años.

$\text{VF} = 1000\,(1 + 0.08)^{10} = 1000 \times 1.08^{10} = 1000 \times 2.1589 \approx \$2{,}159$

Recorre el primer par de años para ver el mecanismo:

En el año 2 la cuenta compuesta gana $86,40, no $80 — esos $6,40 de más son el 8% cobrado sobre los $80 de interés del año 1. Diminuto al principio, pero nunca deja de capitalizarse sobre sí mismo.

Tras 10 años el compuesto entrega $2.159 frente a los $1.800 del simple. Esa brecha de $359 es puro interés sobre el interés — dinero que tu dinero generó para ti, sin ningún depósito adicional. Estira el horizonte a 40 años y los mismos $1.000 se convierten en unos $21.720 compuestos frente a unos miserables $4.200 simples. La curva no solo le gana a la línea; le saca una vuelta entera.

Arrastra el tipo y el horizonte de abajo y observa cómo la curva compuesta se despega de la línea plana del interés simple — la brecha que se ensancha es el interés sobre el interés:

Este es el motor que hay detrás de toda la idea del valor temporal del dinero del tema anterior: un dólar hoy vale más que un dólar mañana precisamente porque, dejado capitalizar, el dólar de hoy cría en silencio más dólares mientras esperas.

Cuándo importa

La capitalización importa en todas partes donde se deja el dinero quieto — y cuanto más largo el horizonte, más domina. Es la razón por la que empezar a invertir a los 25 en lugar de a los 35 puede aproximadamente duplicar tu colchón final, y por la que la deuda de la tarjeta de crédito sin pagar se hace metástasis. La misma fuerza que construye riqueza a tu favor te tritura cuando eres el que pide prestado. El tiempo es el multiplicador; la capitalización decide hacia dónde apunta.

Con qué frecuencia capitaliza cambia la respuesta

Aquí hay una sutileza que pilla desprevenida a la gente: el tipo del titular no es toda la historia. Con qué frecuencia se añade el interés — la frecuencia de capitalización — cambia en silencio el saldo final, aunque el tipo anunciado sea idéntico. Cuanto más a menudo se abona el interés, antes empieza a ganar su propio interés, así que el mismo “12% anual” acaba valiendo un poco más.

Si un tipo nominal anual $r$ se capitaliza $n$ veces al año, la fórmula se estira a:

$\text{VF} = P\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n t}$

Cada periodo gana ahora una porción más pequeña ($r/n$), pero hay más de ellos ($n \cdot t$), y los viajes extra por la máquina de capitalizar ganan la partida.

Ejemplo resuelto — el mismo 12%, cuatro calendarios

Mete $1.000 a un tipo nominal anual del 12% durante 1 año, y solo cambia con qué frecuencia capitaliza:

El mismo 12% en la etiqueta, pero la capitalización diaria en realidad gana un 12,75% una vez tienes en cuenta todo ese interés sobre el interés dentro del año. Esa cifra anual “verdadera” tiene un nombre — la tasa anual equivalente (TAE) — y es la protagonista de la próxima lección. Por ahora, fíjate solo en que capitalizar con más frecuencia siempre paga más, pero en cantidades cada vez menores.

Desliza la frecuencia de abajo y observa cómo cada peldaño de la escalera empuja el saldo un poco más arriba — y luego fíjate en cómo los escalones se hacen cada vez más diminutos:

Capitalización continua: el límite de velocidad

Si la trimestral le gana a la anual, y la diaria le gana a la mensual, ¿dónde termina esto? ¿Y si el interés capitalizara cada segundo? ¿Cada nanosegundo? Podrías esperar que el saldo se disparara hacia el infinito — pero no lo hace. Choca educadamente contra un techo.

A medida que el número de periodos de capitalización $n$ crece hacia el infinito, la fórmula converge a un límite limpio que involucra el número de Euler $e \approx 2.71828$. Esto es la capitalización continua — interés abonado en cada instante:

$\text{VF} = P \cdot e^{r t}$

Ejemplo resuelto

Nuestros $1.000 al 12% capitalizados de forma continua durante 1 año:

$\text{VF} = 1000 \times e^{0.12 \times 1} = 1000 \times 1.12750 = \$1{,}127.50$

Ahora pon la continua frente a los calendarios de antes:

La capitalización diaria ya cae a tres céntimos del techo continuo. El salto de anual a diaria valía $7,47; apretar todo el camino hasta infinitas veces te compra otros 3 céntimos. La lección: capitalizar con más frecuencia ayuda, pero no se dispara — se arrastra hacia un límite duro fijado por $e^{rt}$ y se detiene. La frecuencia tiene rendimientos rápidamente decrecientes.

Juntándolo todo

Dos fórmulas, una bifurcación en el camino. El interés simple cobra el alquiler sobre un principal congelado y crece en línea; el interés compuesto lo cobra sobre el saldo que se hincha y se curva hacia arriba — y con qué frecuencia capitaliza empuja la respuesta hacia un techo continuo. Resúmelo en una imagen:

Un repaso mixto — recoge de todo lo anterior:

Ideas clave