Los hechos estilizados que un generador debe reproducir

Supón que construyes un generador de datos sintéticos, lo apuntas a una década de rendimientos del S&P 500 y aprende diligentemente que el rendimiento diario medio ronda el 0,03% y la desviación típica diaria ronda el 1%. Le dejas escupir una década nueva de rendimientos de «mercado» que casan exactamente con esos dos números. Enhorabuena — has producido basura que ningún operador reconocería como un mercado.

¿Por qué? Porque la media y la varianza son solo los dos primeros momentos de una distribución, y los mercados viven en los momentos superiores y en la estructura temporal. Una serie puede tener la media correcta y el bamboleo correcto sin tener desplomes, sin ritmo de calma-luego-tormenta, sin memoria y con un perfil al alza/a la baja perfectamente simétrico. Valoraría mal las opciones, dimensionaría mal el riesgo y haría backtesting de estrategias en una fantasía. Un mercado real no es «ruido aleatorio con el botón de volumen bien puesto» — tiene una huella dactilar.

Esa huella dactilar es una breve lista de hechos estilizados: regularidades empíricas que aparecen en todos los mercados líquidos — renta variable, divisas, materias primas, cripto — a lo largo de décadas y de continentes, sin importar el activo. Fueron catalogadas por Mandelbrot, Fama, Cont y otros, y son notablemente universales. Para nosotros no son trivia: son el baremo. Todo generador que conocerás más adelante en este curso — el clásico Movimiento Browniano Geométrico de la lección 3, y las GAN, los VAE y los modelos de difusión de las lecciones 4–6 — se evalúa contra exactamente este boletín. Así que aprende el baremo antes de conocer a los concursantes.

Fíjate en el marcador: un simple paseo aleatorio gaussiano pasa esencialmente uno de los seis, y ese uno solo por accidente. Guarda esa idea — volveremos al boletín completo al final. Primero, una sección por hecho, cada una con la prueba que de verdad ejecutarías para evaluar un generador en ella.

Colas anchas (exceso de curtosis)

Analogía. Una distribución normal es una aerolínea cautelosa que promete un retraso «casi nunca». Los mercados reales son una aerolínea que promete lo mismo — y luego te deja tirado en la pista dos veces al año. El retraso medio puede coincidir con el folleto mientras que las catástrofes son muchísimo más frecuentes.

Definición. La curtosis es el cuarto momento estandarizado, $\kappa = \mathbb{E}\!\left[\left(\frac{r-\mu}{\sigma}\right)^4\right]$. Una distribución normal tiene $\kappa = 3$, así que los analistas citan el exceso de curtosis $\kappa - 3$ (cero para una gaussiana). Los rendimientos diarios de renta variable muestran de forma rutinaria un exceso de curtosis de 5 a 30 — las colas no son un poco pesadas, son pesadas.

Ejemplo resuelto — la tormenta milenaria de 25.000 años. Bajo un modelo normal con $\sigma = 1\%$ diario, un día de $-5\sigma$ significa un movimiento de $-5\%$. La probabilidad de un evento de $5\sigma$ en una gaussiana es de unos $2.87 \times 10^{-7}$. Así que la espera esperada entre días así es

$\frac{1}{2.87 \times 10^{-7}} \approx 3{,}480{,}000 \text{ días} \approx 13{,}800 \text{ años (una cola)},$

y aproximadamente 25.000 años si solo te importa la cola a la baja en ese umbral exacto a lo largo del calendario. Sin embargo los mercados entregan días de $\pm 5\sigma$ cada pocos años — octubre de 1987 fue un evento de $-20\sigma$+ bajo la gaussiana, que el modelo normal califica como «una vez cada muchas veces la edad del universo». Cuando tu modelo dice «época geológica» y la realidad dice «martes», tus colas son demasiado finas.

Cuándo usarlo

Para probar un generador en busca de colas anchas: calcula el exceso de curtosis muestral de sus rendimientos y compáralo con la serie real (la real debería estar muy por encima de 0; un generador gaussiano se sitúa cerca de 0). Mejor aún, compara los cuantiles empíricos de cola — p. ej. el 0,1% de peor día — o ajusta una Pareto generalizada / ley de potencias a la cola y comprueba el índice de cola. Un gráfico QQ de rendimientos sintéticos frente a reales hace que las colas finas salten a la vista: los puntos se desvían de la diagonal en los extremos.

Agrupación de volatilidad

Analogía. Los terremotos no llegan al ritmo de un metrónomo — vienen en enjambres. Un gran temblor y el suelo sigue temblando con réplicas durante días, luego se queda en silencio durante un largo tramo. La volatilidad es exactamente eso: las tormentas se agrupan, la calma se agrupa.

Definición. Los grandes movimientos tienden a seguir a grandes movimientos y los pequeños a los pequeños, sin importar el signo. Formalmente: la autocorrelación de los rendimientos crudos $r_t$ es aproximadamente cero en todos los retardos (los mercados son más o menos impredecibles en dirección), pero la autocorrelación de los rendimientos al cuadrado o absolutos es significativamente positiva durante muchos retardos:

$\rho_{|r|}(k) = \operatorname{Corr}\!\left(|r_t|,\, |r_{t-k}|\right) > 0 \quad\text{para } k \ge 1.$

Esta es precisamente la regularidad que GARCH (de Finanzas de Series Temporales) fue construido para capturar: la varianza de hoy depende del shock al cuadrado de ayer y de la varianza de ayer, así que los shocks persisten.

Ejemplo resuelto — una tabla de ACF. Calcula las autocorrelaciones en los retardos 1, 5 y 10 para una serie diaria real:

La columna de los crudos ronda el 0 (sin predecibilidad direccional). La columna de los cuadrados es claramente positiva y solo se desvanece despacio — esa brecha es la agrupación de volatilidad. Una serie cuya ACF de rendimientos al cuadrado también es ~0 no tiene agrupación: sus días grandes están salpicados al azar en lugar de apiñarse en tormentas.

Cuándo usarlo

Para probar la agrupación: dibuja la ACF de $r_t$ y la de $r_t^2$ (o $|r_t|$) una al lado de la otra, con bandas de confianza. Las series reales y de un buen generador muestran una ACF cruda plana y una ACF al cuadrado claramente positiva. Cuantitativamente, ejecuta un test de Ljung–Box sobre los rendimientos al cuadrado (o un test ARCH-LM): un valor p pequeño confirma la agrupación. Ejecútalo tanto en la serie real como en la sintética y compara.

Caída lenta de la autocorrelación de rendimientos absolutos (memoria larga)

Analogía. Una campana de iglesia golpeada no se queda en silencio en el instante en que el siguiente banco está vacío; sigue sonando, su zumbido desvaneciéndose en una cola larga y lenta. La volatilidad del mercado suena como esa campana — su eco en los rendimientos absolutos persiste mucho más de lo que espera cualquier modelo de memoria corta.

Definición. Más allá de ser meramente positiva, la autocorrelación de los rendimientos absolutos (y al cuadrado) decae despacio con el retardo — empíricamente cerca de una ley de potencias, $\rho_{|r|}(k) \sim k^{-\gamma}$ con un $\gamma$ pequeño (a menudo $0.2$–$0.4$), en lugar de la rápida caída geométrica $\rho(k) \sim \phi^{k}$ de un proceso de memoria corta. Esta es la memoria larga o dependencia de largo alcance de la volatilidad: el pasado influye en el presente a lo largo de horizontes muy largos.

Ejemplo resuelto — ACF cruda frente a absoluta a lo largo de los retardos. Contrasta las dos series en retardos crecientes:

La ACF de rendimientos crudos es ruido estadístico en torno a cero en cada retardo — plana desde el principio. La ACF de rendimientos absolutos empieza en 0,30 y sigue en torno a 0,20 en el retardo 20 y 0,14 en el retardo 50. Una caída de memoria corta (geométrica) desde 0,30 con $\phi = 0.8$ ya estaría en $0.30 \times 0.8^{20} \approx 0.0035$ en el retardo 20 — prácticamente desaparecida. La realidad sigue sonando fuerte; esa persistencia es la memoria larga.

Cuándo usarlo

Para probar la memoria larga: dibuja $\rho_{|r|}(k)$ hasta retardos grandes (50–100) en una escala log–log; una línea más o menos recta de pendiente pequeña señala una caída de ley de potencias. Estima directamente el exponente de memoria larga — p. ej. el exponente de Hurst $H$ de los rendimientos absolutos (la volatilidad real da $H > 0.5$), mediante análisis R/S o un estimador GPH/de log-periodograma. Compara el exponente y la curva ACF completa de la serie sintética con los de la real.

El efecto apalancamiento

Analogía. Las buenas noticias elevan una acción como sube una marea tranquila — con suavidad. Las malas noticias la tiran como una alarma de incendios vacía un edificio: empujones, gritos, caos. El pánico a la baja agita mucha más turbulencia que la alegría al alza.

Definición. La volatilidad tiende a aumentar más tras las caídas de precio que tras las subidas de igual magnitud — hay una correlación negativa entre los rendimientos actuales y la volatilidad futura, $\operatorname{Corr}(r_t,\, \sigma_{t+1}) < 0$. Clásicamente atribuida al apalancamiento financiero (una caída de precio eleva la ratio deuda/capital de la empresa, haciendo el capital más arriesgado), de ahí el nombre — aunque el efecto es mayor de lo que el apalancamiento por sí solo explica.

Ejemplo resuelto — volatilidad realizada post-subida frente a post-caída. Divide los días según el signo del rendimiento del día anterior y mide la volatilidad realizada del día siguiente (anualizada):

Shocks del mismo tamaño, secuelas muy distintas: a un día a la baja le sigue una volatilidad unas $21/14 \approx 1.5\times$ mayor que tras un día al alza. Un modelo simétrico (GARCH, MBG) daría cifras más o menos iguales en ambas filas; la brecha es el efecto apalancamiento. Modelos asimétricos como EGARCH o GJR-GARCH se inventaron precisamente para capturar esto.

Cuándo usarlo

Para probar el efecto apalancamiento: estima la correlación cruzada $\operatorname{Corr}(r_t,\, |r_{t+k}|)$ o $\operatorname{Corr}(r_t,\, r_{t+k}^2)$ para $k \ge 1$ — los mercados reales dan valores significativamente negativos, un generador sin el efecto da ~0. O simplemente agrupa la volatilidad realizada del día siguiente por el signo del rendimiento de hoy (como en la tabla) y comprueba si hay una brecha. En lenguaje de opciones, el efecto se manifiesta como un sesgo de volatilidad negativo.

Gaussianidad por agregación

Analogía. De cerca, una costa es dentada, con acantilados violentos y entrantes. Aléjate hasta un mapa del continente entero y el detalle salvaje se suaviza en una curva apacible. Agrega los rendimientos en ventanas más largas y la aspereza de colas anchas de los movimientos diarios se suaviza hacia la pulcra campana de Gauss.

Definición. A medida que el intervalo de muestreo se alarga — diario → semanal → mensual — la distribución de rendimientos se aproxima a una distribución normal, y el exceso de curtosis decae hacia 0. Este es un efecto con sabor a Teorema Central del Límite: un rendimiento mensual es una suma de ~21 rendimientos diarios, y las sumas de shocks (débilmente dependientes) derivan hacia la gaussiana. Crucialmente, este es el único hecho que un paseo aleatorio gaussiano «pasa» trivialmente — porque era gaussiano en todo horizonte desde el principio.

Ejemplo resuelto — la curtosis cayendo con el horizonte. Toma una serie diaria con exceso de curtosis 8. Si los rendimientos diarios fueran independientes, sumar $n$ de ellos divide el exceso de curtosis por $n$: un mes de 21 días da $8 / 21 \approx 0.38$. Los rendimientos reales no son del todo independientes (la agrupación de volatilidad ralentiza la convergencia), así que el exceso de curtosis mensual aterriza un poco más alto — empíricamente en torno a 1 — pero la dirección es inconfundible:

De 8 a cerca de 1 a medida que te alejas — las colas se desinflan. Un generador que es gaussiano en todas partes casa bien la forma mensual; la prueba es si también tiene las colas anchas diarias desde las que se supone que debe converger.

Cuándo usarlo

Para probar la gaussianidad por agregación: calcula el exceso de curtosis (y ejecuta un test de normalidad como el de Jarque–Bera) en varios horizontes — diario, semanal, mensual — y confirma que el valor tiende a la baja hacia 0 a medida que crece la ventana. Un buen generador reproduce la curva entera: ancha en diario, casi normal en mensual. Casar un solo horizonte no basta; es la forma de la convergencia la que debe coincidir.

Asimetría ganancia/pérdida

Analogía. El mercado sube por la escalera y baja por el ascensor. Las ganancias son una caminata paciente — un escalón cada vez durante semanas. Las pérdidas son una trampilla: un acantilado que se abre en días. Simétricas en tamaño, salvajemente asimétricas en velocidad y forma.

Definición. Las grandes caídas tienden a ser más bruscas y rápidas que las subidas de igual magnitud, produciendo asimetría negativa en la distribución de rendimientos, $\operatorname{skew}(r) < 0$. De forma equivalente (la «asimetría ganancia/pérdida» de Johansen–Sornette): el tiempo de espera típico para alcanzar un rendimiento acumulado negativo dado es más corto que el tiempo de espera para alcanzar el mismo rendimiento positivo.

Ejemplo resuelto — tiempo hasta ±20%. Rastrea cuánto tarda típicamente un índice en moverse un 20% acumulado desde un punto de partida:

Misma magnitud del 20%, pero la caída llega en aproximadamente un tercio del tiempo. Esa asimetría de velocidad deja una huella de asimetría negativa (aquí, digamos, $\operatorname{skew} \approx -0.6$ en rendimientos diarios): la cola izquierda es más larga y más abrupta que la derecha.

Cuándo usarlo

Para probar la asimetría ganancia/pérdida: calcula la asimetría muestral de los rendimientos (la renta variable real da un pequeño valor negativo) y compárala con la del generador. Más directamente, mide la distribución del tiempo de primer paso hasta $+\theta$ frente a $-\theta$ para un umbral $\theta$ (p. ej. 20%) y comprueba que el lado a la baja llega antes. Las estadísticas de caída — caída máxima, duración de la caída — son la versión del profesional de la misma auditoría.

El boletín completo

Ahora hazlo total. Alinea los seis hechos contra un simple paseo aleatorio gaussiano — la línea base de la lección 3 (MBG con volatilidad constante) — y la nota es brutal:

Uno de seis, y el que pasa lo pasa por la razón equivocada. Un paseo aleatorio gaussiano no es un mercado — es la hipótesis nula contra la que se define un mercado. Por esto exactamente los modelos clásicos de la lección 3 (el MBG, y las familias parcheadas de difusión con saltos / volatilidad estocástica que intentan volver a atornillarle algunos hechos) se juzgan contra esta tabla, y por esto los generadores aprendidos de las lecciones 4–6 (GAN, VAE, difusión) viven o mueren en las mismas seis filas. Cuando alguien te enseñe un flamante modelo nuevo de datos sintéticos, ya conoces las seis preguntas que hacer antes de creerte una palabra.

Recapitulación

Los hechos estilizados son la huella dactilar universal de los mercados líquidos — regularidades empíricas que comparte toda clase de activo, situadas en los momentos superiores y la estructura temporal que la media y la varianza ignoran. Los seis grandes: colas anchas (exceso de curtosis 5–30, desplomes mucho más frecuentes que en una gaussiana), agrupación de volatilidad (ACF de rendimientos al cuadrado positiva mientras la ACF de rendimientos crudos ≈ 0), caída lenta / memoria larga (ACF de rendimientos absolutos desvaneciéndose como una ley de potencias, aún positiva en el retardo 20+), el efecto apalancamiento (la volatilidad sube más tras las caídas — correlación negativa rendimiento/volatilidad futura), la gaussianidad por agregación (las colas se desinflan hacia la normal a medida que sumas en horizontes más largos), y la asimetría ganancia/pérdida (asimetría negativa — los mercados caen más rápido de lo que suben). Cada uno viene con una prueba concreta — curtosis y gráficos QQ, Ljung–Box sobre rendimientos al cuadrado, ACF log–log y exponentes de Hurst, correlación cruzada rendimiento/volatilidad futura, curvas de curtosis frente a horizonte, y asimetría / tiempos de primer paso. Un simple paseo aleatorio gaussiano falla cinco y medio de los seis. Esta tabla es el baremo contra el que se evaluará todo generador de este curso — memorízala.