Simuladores clásicos: el listón a batir

Cuando alguien dice “generemos datos de mercado sintéticos”, el reflejo moderno es montar una GAN, alimentarla con unos años de retornos y esperar la magia. Ese reflejo casi siempre es un error como primer movimiento. Un generador neuronal es una caja negra con millones de parámetros y una larga lista de formas de engañarte — colapso de modos, sobreajuste silencioso y una tendencia a memorizar y reproducir tu conjunto de entrenamiento mientras aparenta creatividad. Nunca deberías echar mano de uno hasta saber qué intentas batir.

Lo que intentas batir es un simulador clásico: un modelo pequeño y transparente que puedes escribir en una servilleta y entender por completo. Tres de ellos cargan con casi todo el peso en la práctica — el movimiento browniano geométrico, el bootstrap (por bloques y estacionario) y los modelos de cambio de régimen / Markov ocultos. Son baratos, entrenan en milisegundos, cada parámetro tiene un significado y, lo crucial, son resistentes a fugas: un bootstrap solo puede reproducir retornos que realmente ocurrieron, y el MBG tiene tan pocos mandos que físicamente no puede memorizar tus datos. Son el grupo de control de todo este campo.

Así que la regla para el resto del curso es sencilla. Un generador aprendido (lecciones 4–6) solo merece su cómputo, su fragilidad y su riesgo de fuga si supera este listón y sobrevive a la prueba de fuego de la evaluación (lección 7). En esta lección alineamos los tres simuladores clásicos y calificamos cada uno frente a la rúbrica de hechos estilizados de la lección 2 — colas anchas, agrupamiento de volatilidad, ACF lenta del retorno absoluto, el efecto apalancamiento, gaussianidad agregacional y asimetría ganancia/pérdida. Algunos de estos “hombres de paja” resultan ser alarmantemente difíciles de derribar.

Movimiento browniano geométrico (MBG)

Analogía. El MBG es la vaca esférica de las finanzas. Un físico que quiere una primera respuesta supone que la vaca es una esfera sin fricción — errónea en todos los detalles, pero un punto de partida limpio que puedes calcular a mano. El MBG supone un mercado con volatilidad constante y retornos sin memoria, perfectamente gaussianos. Nadie cree que la vaca sea una esfera; la usas porque te da un número contra el que argumentar.

Definición. El MBG es el modelo que ya conociste en Finanzas de Montecarlo. El precio $S_t$ sigue la ecuación diferencial estocástica

$dS = \mu S\, dt + \sigma S\, dW,$

donde $\mu$ es la deriva, $\sigma$ la volatilidad y $dW$ un incremento browniano. La solución en forma cerrada hace que los log-retornos sean normales i.i.d.:

$\ln\frac{S_{t+\Delta t}}{S_t} \sim \mathcal{N}\!\left(\left(\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2\right)\Delta t,\ \sigma^2 \Delta t\right).$

Para simular un paso extraes una normal estándar $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ y empujas el precio hacia delante:

$S_{t+\Delta t} = S_t \exp\!\left[\left(\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2\right)\Delta t + \sigma\sqrt{\Delta t}\, Z\right].$

Ejemplo resuelto. Toma un precio inicial de $100, así que $S_0 = 100$, con deriva anual $\mu = 0.08$, volatilidad anual $\sigma = 0.20$ y un paso diario $\Delta t = 1/252$. Entonces:

• Término de deriva: $\left(\mu - \tfrac{1}{2}\sigma^2\right)\Delta t = (0.08 - 0.02)\cdot \tfrac{1}{252} = 0.06/252 \approx 0.000238.$
• Escala de difusión: $\sigma\sqrt{\Delta t} = 0.20 \cdot \sqrt{1/252} = 0.20 \cdot 0.0630 \approx 0.0126.$

Supón que la extracción aleatoria es $Z = 1.5$ (un día al alza enérgico). El log-retorno es $0.000238 + 0.0126 \cdot 1.5 = 0.000238 + 0.0189 = 0.01914$, así que

$S_{t+\Delta t} = 100 \cdot e^{0.01914} = 100 \cdot 1.01932 \approx 101.93,$

es decir, un precio de unos $101.93.

Una extracción de $Z = -2.0$ da en cambio un log-retorno de $0.000238 - 0.0252 = -0.02496$ y un precio de unos $97.54. La misma maquinaria, solo una extracción gaussiana distinta — y esa igualdad es todo el problema.

Calificando al MBG frente a la rúbrica. Aquí es donde queda en evidencia la vaca esférica:

Aprueba exactamente una casilla, y solo porque hace trampa siendo gaussiano en todas partes. La imagen de abajo muestra el fallo central: la distribución de retornos del MBG es una campana limpia, mientras que los retornos reales acumulan masa extra en el centro y en las colas.

Cuándo usarlo

Usa el MBG como hipótesis nula y andamio de valoración, no como fuente de datos realista. Es la herramienta adecuada cuando necesitas un punto de referencia en forma cerrada (Black–Scholes vive aquí), una trayectoria de comprobación rápida o una cota inferior deliberadamente honesta contra la que medir todo lo demás. En el momento en que te importa el riesgo de cola, el agrupamiento o cualquier cosa dependiente de la trayectoria, el MBG es un lastre — pero es una vara de medir imprescindible.

El bootstrap por bloques

Analogía. Imagina hacer un montaje de “lo mejor” nuevo a partir de metraje de partidos antiguos. Si lo empalmas fotograma a fotograma, obtienes un parpadeo incoherente. Si lo empalmas en clips de unos segundos cada uno, cada clip sigue conteniendo movimiento real y coherente — solo has rebarajado el orden de las jugadas. El bootstrap por bloques empalma la historia del mercado en clips, no en fotogramas, así que cada clip lleva intacta su propia ráfaga de volatilidad.

Definición. El bootstrap remuestrea con reemplazo a partir de tus retornos históricos para construir series nuevas de la misma longitud. La versión ingenua extrae días sueltos, lo que destruye toda la estructura temporal. El bootstrap por bloques móviles, en cambio, elige una longitud de bloque $b$, forma todos los bloques solapados $(r_i, r_{i+1}, \dots, r_{i+b-1})$ y muestrea bloques enteros al azar, concatenándolos hasta que la serie sintética sea lo bastante larga.

• Los bloques no solapados trocean la serie en ventanas fijas y disjuntas — más simple, pero menos bloques distintos entre los que extraer.
• Los bloques móviles (solapados) se deslizan un paso cada vez, dando $n - b + 1$ bloques candidatos y mucha más variedad.

La longitud de bloque $b$ es el único mando, y es un compromiso genuino:

• Demasiado corto ($b = 1$): vuelves al bootstrap i.i.d. — el agrupamiento y toda la dependencia serial desaparecen.
• Demasiado largo ($b \approx n$): cada serie “sintética” es solo tu historia real con el punto de inicio desplazado — ninguna novedad en absoluto.

Ejemplo resuelto. Toma una serie diminuta de retornos diarios de $n = 8$ días (en porcentaje):

$[\,+1,\ +2,\ -5,\ -4,\ +1,\ 0,\ +2,\ -1\,].$

Elige longitud de bloque $b = 3$. Los bloques solapados son $n - b + 1 = 8 - 3 + 1 = 6$ de ellos:

$B_1=[+1,+2,-5],\quad B_2=[+2,-5,-4],\quad B_3=[-5,-4,+1],$ $B_4=[-4,+1,0],\quad B_5=[+1,0,+2],\quad B_6=[0,+2,-1].$

Para construir una serie sintética de longitud 8, extrae bloques al azar con reemplazo y concatena, recortando a 8. Extraer $B_2$, luego $B_5$, luego $B_1$ da

$[+2,-5,-4,\ +1,0,+2,\ +1,+2]\ \to\ \text{recortar a 8:}\ [+2,-5,-4,+1,0,+2,+1,+2].$

Fíjate en que el par $-5,-4$ sobrevivió como unidad — el grupo volátil viajó junto. Un bootstrap de un solo día podría haberlos separado con la misma facilidad, ahogando la tormenta.

El bootstrap estacionario (Politis–Romano). Una longitud de bloque fija deja una costura incómoda: la serie sintética no es estrictamente estacionaria porque las fronteras de los bloques caen en puntos predecibles. El bootstrap estacionario lo arregla haciendo la longitud de bloque aleatoria — cada bloque continúa con probabilidad $p$ y termina con probabilidad $1 - p$ en cada paso, así que las longitudes de bloque siguen una distribución geométrica de media $1/p$. Promediar sobre longitudes aleatorias suaviza los artefactos de frontera y garantiza que la serie remuestreada sea estacionaria. Cambias el único parámetro $b$ por el único parámetro $p$ (longitud esperada $1/p$).

Calificando al bootstrap frente a la rúbrica. El superpoder del bootstrap es que remuestrea retornos reales, así que cualquier cosa horneada en los días individuales sobrevive gratis:

Cuándo usarlo

Echa mano del bootstrap por bloques (o estacionario) cuando quieras muestras realistas, resistentes a fugas y confíes en que tu historia sea representativa — backtesting de reglas de trading, dimensionar intervalos de confianza sobre un ratio de Sharpe, hacer bootstrap de distribuciones de P&L. Es el listón más fuerte precisamente porque hereda cada hecho estilizado que tus datos ya tienen, a un coste de modelado casi nulo. Evítalo siempre que el futuro deba contener eventos que el pasado no tuvo — regímenes novedosos, rupturas estructurales o estrés más allá del máximo histórico.

Modelos de cambio de régimen / Markov ocultos

Analogía. Piensa en el mercado como un clima con dos estados de ánimo: soleado (baja volatilidad, deriva suave) y tormentoso (alta volatilidad, movimientos bruscos). Nunca recibes una etiqueta que diga “ahora es temporada de tormentas” — solo ves los retornos diarios y tienes que inferir el ánimo. Y los ánimos son pegajosos: a un día soleado suele seguirle otro día soleado, una tormenta tiende a arreciar durante un tiempo. Esa pegajosidad es la matriz de transición de Markov.

Definición. Un modelo de Markov oculto / cambio de régimen postula un pequeño número $K$ de estados latentes. El estado $k$ emite retornos de su propia distribución, típicamente gaussiana con media $\mu_k$ y volatilidad $\sigma_k$. Una matriz de transición $K \times K$ $P$, con entradas $p_{ij} = \Pr(\text{estado}_{t+1}=j \mid \text{estado}_t=i)$ y filas que suman 1, gobierna la dinámica. Para un modelo de dos estados (tranquilo / turbulento):

$P = \begin{pmatrix} p_{CC} & p_{CT} \\ p_{TC} & p_{TT} \end{pmatrix},\qquad p_{CC}+p_{CT}=1,\quad p_{TC}+p_{TT}=1.$

La duración esperada de un régimen se deduce de la probabilidad de autotransición $p_{\text{stay}}$. Cada día el régimen sobrevive con probabilidad $p_{\text{stay}}$, así que su longitud es geométrica de media

$\mathbb{E}[\text{duración}] = \frac{1}{1 - p_{\text{stay}}}.$

Ejemplo resuelto. Calibra un modelo de dos estados con

$P = \begin{pmatrix} 0.98 & 0.02 \\ 0.10 & 0.90 \end{pmatrix},\qquad \begin{aligned} &\text{Tranquilo: } \mu_C = +0.05\%/\text{día},\ \sigma_C = 0.6\%\\ &\text{Turbulento: } \mu_T = -0.10\%/\text{día},\ \sigma_T = 2.5\% \end{aligned}$

Duraciones esperadas:

• Tranquilo: $1/(1 - 0.98) = 1/0.02 = 50$ días de mercado (unas 10 semanas de calma).
• Turbulento: $1/(1 - 0.90) = 1/0.10 = 10$ días de mercado (una tormenta de dos semanas).

Las probabilidades de régimen a largo plazo provienen de la distribución estacionaria $\pi P = \pi$. Al resolver, la probabilidad de calma es $p_{TC}/(p_{CT}+p_{TC}) = 0.10/(0.02+0.10) = 0.10/0.12 \approx 0.833$, así que el mercado está tranquilo cerca del 83% del tiempo y turbulento cerca del 17%. La distribución de retornos incondicional es entonces una mezcla de dos normales:

$f(r) = 0.833 \cdot \mathcal{N}(0.0005,\ 0.006^2) + 0.167 \cdot \mathcal{N}(-0.001,\ 0.025^2).$

Esa mezcla es donde ocurre la magia. Una campana tranquila y estrecha pegada a una campana turbulenta y ancha produce una distribución combinada que es picuda en el centro y ancha en las colas — leptocúrtica, igual que los retornos reales — aunque cada componente sea una gaussiana corriente.

Calificando al HMM frente a la rúbrica. Para un modelo tan simple, el boletín de notas es sorprendentemente fuerte:

Cuándo usarlo

Usa un modelo de cambio de régimen cuando necesites estructura interpretable con colas y agrupamiento realistas — generación de escenarios para pruebas de estrés donde quieres un “régimen de crisis” con nombre, previsión de volatilidad o cualquier contexto en el que las partes interesadas preguntarán por qué una trayectoria tiene el aspecto que tiene. Enhebra la aguja entre el MBG (demasiado simple) y un generador neuronal (demasiado opaco): pocos parámetros, todos nombrables, y aun así supera casi toda la rúbrica. Sáltatelo cuando la dinámica real sea genuinamente continua en lugar de un puñado de estados de ánimo discretos, o cuando necesites el efecto apalancamiento horneado de serie.

Por qué el listón es tan difícil de batir

Sería cómodo que estos modelos fueran juguetes. No lo son. La razón de que sobrevivan es una combinación de tres propiedades que los generadores aprendidos tienen dificultad para igualar todas a la vez.

Son baratos. El MBG son dos parámetros. Un bootstrap son cero parámetros más una longitud de bloque. Un HMM de dos estados son un puñado. Se calibran en milisegundos en un ordenador portátil, sin GPU, sin inestabilidad de entrenamiento y sin sesión de espiritismo de hiperparámetros.

Son interpretables. Cada mando tiene un nombre y una unidad. Cuando la salida tiene mala pinta puedes señalar al parámetro responsable — deriva, volatilidad, longitud de bloque, probabilidad de autotransición. Una GAN que se descarría te ofrece una curva de pérdida y un encogimiento de hombros.

Son resistentes a fugas. Esta es la infravalorada. El bootstrap solo puede emitir retornos que de verdad ocurrieron, así que no puede regurgitar por accidente un ejemplo de entrenamiento memorizado que el resto de tu cadena luego confunda con novedad genuina — su “fuga” es honesta y acotada por construcción. El MBG y los HMM tienen tan pocos parámetros que físicamente carecen de la capacidad para memorizar trayectorias individuales. Un generador neuronal con millones de pesos tiene exactamente el problema opuesto: su modo de fallo por defecto es copiar el conjunto de entrenamiento y hacerlo pasar por sintético, lo cual es catastrófico si usas los datos para validar un modelo que también entrenó sobre los originales.

Así que un generador aprendido tiene que superar un listón alto: igualar o batir al HMM en colas anchas y agrupamiento, añadir el efecto apalancamiento y la memoria de largo alcance que los clásicos se pierden, y generar novedad genuina (movimientos más allá de la muestra histórica) que el bootstrap no puede — todo ello sin memorizar en secreto los datos de entrenamiento, y sobreviviendo a la prueba de fuego completa de la evaluación de la lección 7. Aquí está el boletín de notas que enmarca el resto del curso:

Lee esa tabla como una descripción de puesto. Las dos columnas donde los clásicos son débiles — el efecto apalancamiento y la novedad genuina — son exactamente lo que un generador neuronal debe entregar para justificar su coste. En todo lo demás, basta con que no pierda.

Recapitulación

Antes de que cualquier generador neuronal se gane un lugar en tu cadena, tiene que batir a un grupo de control que entiendes por completo. El movimiento browniano geométrico es el hombre de paja honesto: log-retornos gaussianos i.i.d. que aprueban la gaussianidad agregacional y suspenden todo lo demás, pero te dan una vara de medir en forma cerrada. El bootstrap por bloques (y estacionario) remuestrea clips de historia real, heredando gratis las colas anchas empíricas y el agrupamiento de volatilidad de corto alcance, a costa de la memoria de largo alcance y de cualquier movimiento mayor que el peor día de la historia. El modelo de Markov oculto de dos estados mezcla un régimen tranquilo y uno turbulento en una mezcla de normales que entrega tanto colas anchas como agrupamiento mientras se mantiene interpretable, con duración esperada del régimen $1/(1-p_{\text{stay}})$. Los tres son baratos, transparentes y resistentes a fugas — que es exactamente por qué son difíciles de batir. Los generadores aprendidos de las lecciones 4–6 deben superar este listón en el efecto apalancamiento y en la novedad genuina, sin memorizar los datos, y luego sobrevivir a la prueba de fuego de la evaluación de la lección 7.