Colas gruesas frente a la gaussiana

Has medido el riesgo con el VaR y lo has simulado con Monte Carlo. Ambos se apoyaban en un supuesto silencioso al que nunca tuviste que enfrentarte: que los rendimientos tienen más o menos la forma de una campana. Es un supuesto seductor — la distribución normal es pulcra, tiene dos parámetros, y el teorema central del límite no para de susurrar que las sumas de cosas aleatorias se vuelven normales. Pero los rendimientos financieros no son normales, y el lugar donde se rompen es justo el que importa: la cola, donde viven los cracs. Esta lección es la autopsia. Veremos con precisión cómo la cola de la gaussiana se desvanece demasiado rápido, qué son las colas gruesas, qué mide la curtosis y la aritmética brutal de cómo de mal subestima un modelo normal los movimientos que de verdad arruinan a la gente.

La campana y su seductora pulcritud

Analogía. La distribución normal es ese amigo fiable para los planes de cada día pero catastróficamente equivocado sobre las emergencias. Pregúntale «¿cómo es un martes típico?» y clava la respuesta. Pregúntale «¿cómo de mal podría ir un desastre de una vez por década?» y se encoge de hombros: «esos básicamente no pasan» — momentos antes de que uno pase.

Definición. Un rendimiento $r$ está distribuido normalmente (gaussiano) con media $\mu$ y desviación típica $\sigma$ si su densidad es $f(r) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \exp\!\left(-\frac{(r-\mu)^2}{2\sigma^2}\right).$ Toda la forma queda fijada por solo dos números, $\mu$ y $\sigma$. Todo lo demás — lo gruesas que son las colas, lo apuntado que está el centro — queda fijado en el momento en que eliges esos dos. Esa rigidez es el problema.

La característica letal es el término $\exp(-(r-\mu)^2/2\sigma^2)$. A medida que te adentras en la cola, la densidad de probabilidad no solo encoge — encoge como $e$ elevado a menos un cuadrado. Eso es decaimiento híper-rápido. La distribución normal es, en un sentido preciso, de cola ligera: los extremos quedan castigados de forma superexponencial.

Ejemplo resuelto — la escalera de sigmas. Bajo una distribución normal, la probabilidad de un movimiento más allá de $k$ desviaciones típicas en un día dado:

Un día de 5 sigmas, según la gaussiana, debería aparecer más o menos una vez desde la última edad de hielo. Sin embargo, el 19 de octubre de 1987 el S&P 500 cayó más de 20 desviaciones típicas según el propio cómputo del modelo — un evento que la distribución normal califica con una probabilidad con unos 50 ceros tras la coma. El modelo no solo falló; se equivocó por un margen que ninguna «mala suerte» puede rescatar.

Colas gruesas: cuando los extremos se niegan a desvanecerse

Analogía. Una distribución de cola fina es un barrio residencial tranquilo — casi todo el mundo tiene una estatura media, y un gigante de 2,10 m es una casi imposibilidad. Una distribución de cola gruesa es un mundo donde los gigantes siguen siendo raros pero aparecen lo bastante a menudo como para que tengas que planificar para ellos. La diferencia no está en el residente medio; está en cómo se adelgaza la población al acercarte a los extremos.

Definición. Una distribución tiene colas gruesas (o pesadas) si su probabilidad de cola decae más despacio que el $\exp(-x^2/2)$ de la normal. El caso más importante decae como una ley de potencias: $P(X > x) \approx C\, x^{-\alpha} \quad \text{para } x \text{ grande},$ donde $\alpha$ es el índice de cola (menor $\alpha$ = cola más gruesa). Compara los dos motores de decaimiento: el $e^{-x^2/2}$ de la gaussiana se colapsa a nada casi al instante, mientras que $x^{-\alpha}$ baja con pereza. Empuja $x$ de 3 a 6 y la cola normal encoge por un factor de millones; una cola de ley de potencias con $\alpha = 3$ encoge solo por $2^3 = 8$. Ese abismo es el riesgo de cola.

Ejemplo resuelto — gruesa frente a fina en la marca de 4σ. Supón que dos activos tienen la misma volatilidad diaria, pero A es gaussiano y B es de cola gruesa (piensa en una t de Student con pocos grados de libertad). La probabilidad de un día de más de 4σ:

• Activo A (normal): alrededor del 0,003 % — una vez cada ~125 años.
• Activo B (cola gruesa, t con ν ≈ 3): más o menos el 0,5 % — una vez cada ~40 días de mercado, es decir, un par de veces al año.

Misma volatilidad, mismo centro, y sin embargo el activo de cola gruesa tiene una rabieta de «4 sigmas» más de cien veces más a menudo. Si dimensionaste tus coberturas con el número gaussiano, estás catastróficamente infraprotegido — y no lo sabrías hasta el día en que te cueste caro.

La curtosis: el número que huele las colas

Analogía. Si la desviación típica es «cómo de ancha es la distribución en un día normal», la curtosis es «cómo de propensa es a las sorpresas». Es el estadístico que ignora lo típico y se obsesiona con lo extremo.

Definición. La curtosis es el cuarto momento estandarizado: $\text{Curt}(X) = E\!\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^{4}\right].$ Como las desviaciones se elevan a la cuarta potencia, las observaciones de la cola dominan la suma — un único día de 5σ aporta $5^4 = 625$, ahogando a cientos de días corrientes. Una distribución normal tiene curtosis exactamente 3, así que la gente cita el exceso de curtosis $= \text{Curt} - 3$. Un exceso de curtosis por encima de cero significa colas más gruesas que la normal (y un pico más afilado); esta forma se llama leptocúrtica.

Ejemplo resuelto. Los rendimientos diarios del S&P 500 muestran históricamente un exceso de curtosis en torno a 5 a 30 según la ventana — disparatadamente por encima del 0 de la normal. Veamos por qué la cuarta potencia lo hace tan sensible. Toma una muestra limpia de rendimientos estandarizados a σ = 1, y supón que casi todos caen dentro de ±2 pero un día llega a −8 (un crac). Ese único día aporta $(-8)^4 = 4096$ a la media de las cuartas potencias. Para equilibrarlo necesitarías unos 256 días corrientes de ±2 (cada uno aportando $2^4 = 16$). Así que un día extremo mueve la curtosis tanto como cientos de normales — que es justamente por lo que la curtosis es el canario del riesgo de cola, y justamente por lo que es inestable de estimar (un solo crac nuevo puede moverla mucho).

Por qué el teorema central del límite no te salva

La objeción. «¿No dice el teorema central del límite (TCL) que las sumas de choques aleatorios se vuelven normales? Los rendimientos son sumas de muchas pequeñas fuerzas de mercado — así que, ¿no deberían ser normales?»

Por qué falla aquí, de tres maneras.

1. El TCL trata del centro, no de la cola. Garantiza que el centro de una suma converge a una forma de campana, pero no dice nada fuerte sobre la velocidad de convergencia en las colas — que es justo lo que nos importa. La convergencia es más lenta y débil allá donde están los cracs.
2. Los choques no son independientes ni idénticos. La volatilidad se agrupa: los días turbulentos siguen a días turbulentos (un martes en calma rara vez precede a un 1987). Esa dependencia viola los supuestos del TCL e infla las colas.
3. Los choques pueden tener varianza infinita. Si las fuerzas individuales del mercado son ellas mismas lo bastante de cola gruesa (índice de cola $\alpha < 2$), el TCL clásico no se aplica en absoluto — las sumas convergen en su lugar a distribuciones estables (de Lévy), que son ellas mismas de cola pesada. La campana nunca aparece.

Intuición resuelta. Si agregas a horizontes más largos, los rendimientos sí parecen más normales — los rendimientos mensuales son menos de cola gruesa que los diarios, y los anuales menos que los mensuales — porque promedias sobre más choques y el TCL muerde despacio. Pero «menos gruesa» no es «fina», y la gestión de riesgos se ocupa de horizontes diarios a semanales donde el grosor es más violento. Consolarte con la normalidad de los rendimientos anuales mientras llevas un libro de riesgo diario es un error clásico y caro.

El coste de la mentira: una subestimación resuelta

Hagamos concreto el peligro con dinero. Supón que una mesa lleva un libro de 100 millones de $ con volatilidad diaria σ = 1 % (así que un día de 1 sigma son 1 M$). Calcula un VaR a un día al 99 % suponiendo normalidad.

Bajo el modelo normal: el cuantil del 99 % está en 2,33σ, así que VaR ≈ $2\,33 \times 1\text{M} = 2\,33\text{M}$ dólares. La mesa aparta capital y fija límites en consecuencia, creyendo que las pérdidas peores que 2,33 M$ ocurren ~1 % de los días.

Bajo la distribución real (de cola gruesa): supón que el cuantil real del 99 % también está cerca de 2,33σ (¡el VaR puede coincidir!) — pero la cola más allá de él es mucho más pesada. La pérdida media dado un sobrepaso (el déficit esperado, la estrella de nuestras próximas lecciones) podría ser de 5 M$ con colas gruesas frente a 3 M$ con normalidad, y un día real de 1 entre 1000 podría ser de 12 M$ donde la gaussiana predijo 4 M$. El número del VaR parecía bien; el desastre que no supo dimensionar era tres veces peor de lo anunciado.

La lección en una línea: coincidir en un cuantil (VaR) no significa coincidir en la cola. La gaussiana puede concordar con la realidad en el percentil 99 y aun así mentir grotescamente sobre todo lo que hay más allá. Ese punto ciego es precisamente por lo que existe el resto de este tema.

Cuándo la gaussiana está de hecho bien

Para ser justos con la campana: no es inútil, está mal aplicada. Saber dónde es segura es parte de la pericia.

• Horizontes lentos y diversificados. Agrega suficientes apuestas más o menos independientes a horizontes largos y el TCL ayuda genuinamente — el rendimiento anual de un índice amplio está mucho más cerca de la normal que el rendimiento diario de una sola acción.
• Preguntas centrales y cotidianas. «¿Cuál es un movimiento típico?» o «¿cuál es el rango intercuartílico?» — el cuerpo de la gaussiana es una buena primera aproximación. Solo te traiciona en las colas.
• Como base de referencia a batir. El modelo normal es la hipótesis nula perfecta: calcula todo bajo él, luego mide cuánto se aleja la realidad (vía curtosis, conteos de sigmas, TVE). La desviación es la señal.

El error nunca es «usar la normal». Es usarla para decisiones de cola — sobrepasos del VaR, dimensionamiento de coberturas, capital para crisis — donde su cola fina es una mentira estructural. Para esas, necesitas las herramientas que siguen.

A continuación — leyes de potencias y el índice de cola — hacemos zoom en la forma de cola gruesa más importante de todas. Conoceremos el único número $\alpha$ que gobierna el grosor de la cola, la extraña invarianza de escala que hace que las leyes de potencias se vean idénticas a cualquier aumento, y el estimador de Hill que te deja leer $\alpha$ directamente de un tramo de rendimientos reales.