Actualizar estimaciones de rendimiento y volatilidad

En la lección anterior actualizasteis una tasa de aciertos — una probabilidad entre 0 y 1 — con la maquinaria Beta-Binomial, porque contar aciertos y fallos es por naturaleza un problema de lanzamiento de moneda. Pero la mayor parte de las finanzas no va de lanzamientos de moneda: va de números continuos. El rendimiento esperado $\mu$ de un activo podría ser del 4%, o del 7,3%, o del −2%. La volatilidad es un número real positivo. Para hacer inferencia bayesiana sobre cantidades como estas necesitamos la prima continua de Beta-Binomial — y para una cantidad que vive en toda la recta numérica, la elección natural es la distribución Normal. Esta lección es la actualización conjugada Normal–Normal: una campana de Gauss a priori sobre $\mu$, que se encuentra con una campana ruidosa de datos, produciendo una campana a posteriori más afilada. Es, sin discusión, la actualización bayesiana más usada en finanzas cuantitativas.

Y resuelve un problema genuinamente doloroso. Estimar el verdadero rendimiento esperado de un activo a partir de sus rendimientos pasados es asombrosamente difícil — mucho más de lo que sugiere la intuición de casi cualquiera.

El problema: una media muestral de rendimientos es asombrosamente ruidosa

Analogía. Supongamos que queréis conocer la verdadera estatura de alguien, pero vuestra única regla reporta un número distinto cada vez que medís — a veces se equivoca por un palmo entero. Una lectura no vale casi nada; querríais muchas, y aun así os cubriríais con conocimiento previo («los adultos suelen medir entre 1,50 y 2,10 metros»). Estimar el rendimiento esperado de un activo a partir de rendimientos pasados es exactamente esto, salvo que la regla es mucho peor que un palmo.

Por qué la media muestral es tan mala. El error estándar de una media muestral se encoge solo como $1/\sqrt{n}$. Para los rendimientos, la volatilidad por periodo $\sigma$ es grande respecto a la media $\mu$ que perseguís. Tomad una acción con rendimiento medio $\mu = 8\%$ y volatilidad $\sigma = 20\%$ al año. El error estándar de la media muestral a lo largo de $n$ años es $\sigma/\sqrt{n}$:

$\text{SE}(\bar{x}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.20}{\sqrt{n}}.$

Con 10 años de datos, $\text{SE} = 0.20/\sqrt{10} \approx 6.3\%$ — una barra de error casi tan grande como el 8% que intentáis medir. Para bajar el error estándar a un todavía-blando 2%, necesitaríais $n = (0.20/0.02)^2 = 100$ años de datos. Este es el famoso y descorazonador hecho: hacen falta décadas — a menudo siglos — de datos para fijar un rendimiento medio, mientras que el carácter del activo ya ha cambiado hace mucho bajo vuestros pies. Las estimaciones de $\mu$ puramente guiadas por datos son, sin rodeos, pésimas.

Por qué esto es buena noticia para los bayesianos. Cuando los datos hablan flojo y con incertidumbre, un a priori sensato carga peso real — y debe hacerlo. Todo el sentido de la actualización Normal–Normal es combinar vuestra muestra débil y ruidosa con un a priori estructurado para que la estimación no dé bandazos con cada nuevo trimestre.

Cuándo usarla

Echad mano de la actualización Normal–Normal siempre que estiméis una cantidad continua y más o menos simétrica — un rendimiento esperado, un alfa, una carga factorial, una deriva — a partir de observaciones ruidosas, y tengáis un a priori defendible (un rendimiento implícito de mercado, un promedio de largo plazo, la visión de un analista). Es el motor bajo la mezcla de previsiones de rendimiento, y es el corazón matemático de los métodos de contracción de la próxima lección.

Precisión: la moneda adecuada para la actualización gaussiana

Analogía. La varianza es «cuán borrosa es mi creencia»; la precisión es su opuesto — “cuán afilada es mi creencia”. Cuando combináis dos fotografías de la misma escena, no promediáis su borrosidad; dejáis que la más nítida domine. La actualización bayesiana con gaussianas funciona igual, y queda más limpia cuando hablamos en nitidez, no en borrosidad.

Definición. La precisión es sencillamente el inverso de la varianza:

$\tau = \frac{1}{\sigma^2}.$

Una campana estrecha (pequeña $\sigma^2$) tiene alta precisión; una ancha e incierta tiene baja precisión. La razón por la que la precisión es la moneda natural: en la actualización gaussiana, las precisiones se suman, y la media a posteriori es una media ponderada por precisión. Ambas reglas son feas en varianza y bellas en precisión — así que cambiamos de coordenadas.

Microejemplo resuelto. Una desviación típica a priori de $\sigma_0 = 3\%$ corresponde a una varianza de $0.03^2 = 0.0009$ y a una precisión de $\tau_0 = 1/0.0009 \approx 1111$. Un error estándar de los datos de $4\%$ da una varianza de $0.0016$ y una precisión de $625$. Usaremos estos números exactos más abajo — cuanto mayor sea la precisión, más alto habla esa fuente.

La actualización conjugada Normal–Normal

He aquí el resultado que sostiene la lección. Poned un a priori Normal sobre el rendimiento esperado desconocido $\mu$, y suponed que la varianza de los datos es conocida. Entonces observar una media muestral $\bar{x}$ actualiza el a priori en otra Normal — las familias coinciden, que es lo que significa conjugado.

Planteamiento.

• A priori: $\mu \sim N(\mu_0, \sigma_0^2)$, con precisión a priori $\tau_0 = 1/\sigma_0^2$.
• Datos: una media muestral $\bar{x}$ de $n$ observaciones, con precisión de los datos $\tau_{\text{data}} = n/\sigma^2$ (equivalentemente $1/\text{SE}^2$, ya que el error estándar es $\sigma/\sqrt{n}$).

La actualización.

$\tau_{\text{post}} = \tau_0 + \tau_{\text{data}}, \qquad \mu_{\text{post}} = \frac{\tau_0\,\mu_0 + \tau_{\text{data}}\,\bar{x}}{\tau_0 + \tau_{\text{data}}}.$

Leed esas dos ecuaciones despacio, porque juntas son la inferencia bayesiana de una media:

1. La precisión a posteriori es la SUMA de las precisiones. $\tau_{\text{post}} = \tau_0 + \tau_{\text{data}}$. Siempre acabáis más seguros que cualquiera de las fuentes por separado — combinar evidencia solo puede afilar vuestra creencia. La desviación típica a posteriori es $\sigma_{\text{post}} = 1/\sqrt{\tau_{\text{post}}}$, que es menor que $\sigma_0$ y que el error estándar.
2. La media a posteriori es una media PONDERADA POR PRECISIÓN de la media a priori $\mu_0$ y la media muestral $\bar{x}$. Los pesos son las precisiones mismas. La fuente más afilada (mayor precisión) tira de la estimación hacia ella.

La intuición en una línea. Más datos (mayor $n$) o menos ruido (menor $\sigma$) elevan $\tau_{\text{data}}$ → ganan los datos. Un a priori fuerte y seguro (alta $\tau_0$) → gana el a priori. El a posteriori es un tira y afloja, y la precisión es la fuerza de cada equipo.

Ejemplo resuelto 1: un a priori seguro se encuentra con datos ruidosos

Corramos los números exactos. Creéis que el rendimiento anual esperado de una acción es $\mu_0 = 6\%$ y estáis bastante seguros, con una desviación típica a priori $\sigma_0 = 3\%$. Luego recogéis una muestra cuyo rendimiento medio es $\bar{x} = 12\%$, pero es ruidosa — su error estándar es del $4\%$.

Paso 1 — convertir a precisiones.

$\tau_0 = \frac{1}{0.03^2} = \frac{1}{0.0009} \approx 1111, \qquad \tau_{\text{data}} = \frac{1}{0.04^2} = \frac{1}{0.0016} = 625.$

Paso 2 — precisión a posteriori (la suma).

$\tau_{\text{post}} = \tau_0 + \tau_{\text{data}} = 1111 + 625 = 1736.$

Paso 3 — media a posteriori (media ponderada por precisión). Trabajando en porcentaje para las medias:

$\mu_{\text{post}} = \frac{\tau_0\,\mu_0 + \tau_{\text{data}}\,\bar{x}}{\tau_0 + \tau_{\text{data}}} = \frac{1111 \times 6 + 625 \times 12}{1736} = \frac{6667 + 7500}{1736} = \frac{14167}{1736} \approx 8.16\%.$

(Si preferís la vista por unidad: $1111 \times 6\% = 66.67$ y $625 \times 12\% = 75.0$, sumando $141.67$, entre $1736$, dando $\approx 8.16\%$ — lo mismo.)

Paso 4 — desviación típica a posteriori.

$\sigma_{\text{post}} = \frac{1}{\sqrt{\tau_{\text{post}}}} = \frac{1}{\sqrt{1736}} \approx \frac{1}{41.7} \approx 0.024 = 2.4\%.$

Leed el resultado. La muestra ruidosa del 12% empujó vuestra estimación hacia arriba — pero solo del 6% a aproximadamente el 8,16%, no hasta el 12% entero. Como los datos eran ruidosos (menor precisión que el a priori), recibieron el voto menor. Y fijaos en que la desviación típica a posteriori del 2,4% es más estrecha que la del a priori (3%) y que la de los datos (4%) — las precisiones se sumaron, así que vuestra incertidumbre se encogió. El bayesiano se negó a dejarse arrollar por una única muestra sugerente pero ruidosa, exactamente como debe ser.

Ejemplo resuelto 2: amontonad los datos y vedlos arrollar al a priori

Mantened el mismo a priori — $\mu_0 = 6\%$, $\sigma_0 = 3\%$, de modo que $\tau_0 \approx 1111$ — pero ahora imaginad que habéis reunido una muestra mucho mayor y más limpia. La media muestral sigue siendo $\bar{x} = 12\%$, pero con tantas observaciones el error estándar baja al $0.8\%$ en vez del 4%. La precisión de los datos se dispara:

$\tau_{\text{data}} = \frac{1}{0.008^2} = \frac{1}{0.000064} \approx 15625.$

Ahora la actualización:

$\tau_{\text{post}} = 1111 + 15625 = 16736, \qquad \mu_{\text{post}} = \frac{1111 \times 6 + 15625 \times 12}{16736} = \frac{6667 + 187500}{16736} = \frac{194167}{16736} \approx 11.6\%.$

$\sigma_{\text{post}} = \frac{1}{\sqrt{16736}} \approx 0.0077 = 0.77\%.$

Leed el contraste. El mismo a priori, la misma media muestral observada del 12% — pero datos precisos y abundantes arrollan al a priori y arrastran el a posteriori casi hasta el 11,6%, con una desviación típica de afilado 0,77%. Este es el límite tranquilizador: cuando la precisión de los datos $\to \infty$, la media a posteriori $\to \bar{x}$ y el a priori se desvanece hacia la irrelevancia. El a priori son rueditas de aprendizaje para el régimen de escasez de datos — y cuantos más (buenos) datos tengáis, menos importa, exactamente como debe comportarse una inferencia honesta.

Ved moverse la media ponderada por precisión

El gráfico de abajo es la actualización Normal–Normal hecha física. Tres curvas: vuestra creencia a priori sobre $\mu$, la verosimilitud (lo que dicen los datos) y el a posteriori que las fusiona. Arrastrad «Media a priori» y «Dicen los datos» para fijar los dos centros; «Confianza a priori» afila o desenfoca el a priori; «Fuerza de los datos» representa más observaciones / menos ruido (mayor precisión de los datos).

Lo que hay que sentir: empezad con datos débiles, luego subid «Fuerza de los datos». Mirad cómo el a posteriori se desliza fuera del a priori y se posa sobre los datos — y, lo crucial, se vuelve más estrecho que ambas curvas mientras lo hacéis. Ese estrechamiento es la suma de precisiones $\tau_{\text{post}} = \tau_0 + \tau_{\text{data}}$ en movimiento; el deslizamiento es la media ponderada por precisión eligiendo a su ganador. Subid en cambio la confianza a priori al máximo, y el a posteriori apenas se inmuta del a priori diga lo que diga los datos — el régimen del a priori cabezota.

Estimar la volatilidad, brevemente

Hasta aquí la varianza de los datos era conocida. En realidad también debéis estimar la volatilidad — y aquí el a priori conjugado cambia de forma. La varianza es una cantidad positiva con una incertidumbre sesgada y asimétrica (no puede bajar de cero, pero sí dispararse alto), así que un a priori Normal simétrico es la herramienta equivocada. El a priori conjugado para la varianza de una Normal es la distribución Gamma-Inversa (equivalentemente una ji-cuadrado inversa escalada).

No necesitáis aquí la forma cerrada — la idea es lo que importa, y rima con todo lo anterior:

• Empezad con un a priori sobre la varianza (p. ej. «la varianza de este activo ronda su nivel de largo plazo»).
• Observad un lote de rendimientos y calculad sus desviaciones al cuadrado respecto a la media.
• El a posteriori es otra Gamma-Inversa, que combina vuestras «pseudoobservaciones» a priori con la suma de desviaciones al cuadrado realmente observada.

El rédito práctico: una estimación bayesiana de la volatilidad es una mezcla contraída y más estable de vuestro a priori y la varianza muestral en bruto — en vez de la varianza muestral en bruto a solas. Esto importa porque las varianzas muestrales de ventanas cortas son saltarinas: un único mes turbulento puede disparar una estimación de volatilidad a un año, y una racha calma puede adormecerla. Contraer hacia un a priori sensato doma ese temblor. (Tranquilizador: estimar $\sigma$ es mucho más fácil que estimar $\mu$ — la información de varianza se acumula más rápido — pero un a priori aún os compra estabilidad cuando las ventanas son cortas.)

Contracción: la media ponderada por precisión es el puente

Dad un paso atrás y mirad lo que la media a posteriori es:

$\mu_{\text{post}} = \frac{\tau_0\,\mu_0 + \tau_{\text{data}}\,\bar{x}}{\tau_0 + \tau_{\text{data}}}.$

Esto es una media ponderada que atrae la media muestral ruidosa $\bar{x}$ hacia la media a priori $\mu_0$ — y cuanto más ruidosos los datos, más fuerte la atracción. Esa operación tiene un nombre en estadística y finanzas: contracción. La media a posteriori Normal–Normal es literalmente un estimador de contracción, y la precisión a priori controla cuánta contracción aplicáis.

Ese es el puente hacia la Lección 5 (estimadores de contracción y Black-Litterman). El estimador de James–Stein, la contracción de matrices de covarianza y el modelo de Black-Litterman — que mezcla un rendimiento «a priori» implícito de mercado con «visiones» del inversor como datos — son todos la misma media ponderada por precisión que acabáis de aprender, escalada a vectores y matrices enteros de rendimientos. Dominad esta única actualización y esas máquinas dejan de parecer magia.

Por qué esto importa para las carteras

Aquí está lo que está en juego. Los optimizadores de media-varianza son violentamente sensibles a sus entradas, y la entrada a la que más sensibles son es el vector de rendimientos esperados — exactamente la cantidad cuya estimación muestral en bruto acabamos de mostrar que es basura (recordad: necesitaríais un siglo de datos para fijarla). Dadle a un optimizador de carteras medias muestrales en bruto y volcará alegremente vuestro dinero en cualquier activo que tuvo suerte en la muestra, produciendo pesos extremos, inestables e imposibles de operar. El arreglo es contraer primero esas estimaciones de media hacia un a priori sensato — entregar al optimizador un a posteriori ponderado por precisión en vez de la muestra ruidosa. Esa es la razón entera por la que existen la contracción y Black-Litterman, y es por lo que esta modesta media ponderada es una de las ideas más valiosas en la construcción cuantitativa de carteras.

Trampas

Trampa 1 — fiarse de una media muestral de ventana corta. El rendimiento medio de los últimos 3 o 5 años de un fondo tiene una barra de error casi tan ancha como el propio número. Tratarlo como el verdadero rendimiento esperado es el error de estimación más común y más caro en la inversión. El error estándar escala como uno entre la raíz cuadrada de los años, y nunca tenéis suficientes años.

Trampa 2 — pensar que el a posteriori es el promedio simple. La media a posteriori es la media ponderada por precisión, no el punto medio de igual peso. En el Ejemplo 1, un a priori del 6% y datos del 12% no dieron 9%; dieron 8,16%, porque el a priori era más preciso y se ganó un voto mayor. Si alguna vez calculáis un punto medio simple, habéis tirado a la basura la información más importante — cuán fiable es cada fuente.

Trampa 3 — olvidar que estimar $\mu$ es mucho más difícil que estimar $\sigma$. La información de volatilidad se acumula rápido; la de la media se arrastra. La gente confía por reflejo en los rendimientos pasados y desconfía de los modelos de riesgo, cuando la verdad es la inversa: vuestra estimación de $\sigma$ es mucho más fiable que la de $\mu$. Planificad vuestro esfuerzo de modelado — y vuestros a priori — en consecuencia.

Atando cabos

Para estimar una cantidad continua como el rendimiento esperado de un activo, poned un a priori Normal sobre ella y actualizad con datos Normales — el caso conjugado Normal–Normal. Cambiad de coordenadas a precisión ($\tau = 1/\sigma^2$), porque entonces las dos reglas quedan limpias: la precisión a posteriori es la suma ($\tau_{\text{post}} = \tau_0 + \tau_{\text{data}}$, así que siempre acabáis más afilados), y la media a posteriori es la media ponderada por precisión de la media a priori y la media muestral. Más datos o menos ruido → ganan los datos; un a priori seguro → gana el a priori. Como la media muestral de los rendimientos es brutalmente ruidosa — décadas de datos solo para conseguir una barra de error usable — el a priori hace un trabajo real y valioso, y la estimación resultante es una estimación contraída. La volatilidad recibe el mismo tratamiento bayesiano vía un a priori Gamma-Inversa, dando estimaciones de volatilidad más estables que una saltarina varianza muestral de ventana corta. Y esa media ponderada por precisión es contracción — la idea exacta que la próxima lección escala hasta James–Stein y Black-Litterman para rescatar a los optimizadores de carteras de su propia sensibilidad a las entradas.

A continuación — escalamos esta única media ponderada por precisión de un número a vectores enteros de rendimientos y matrices de riesgo. Eso es estimadores de contracción y el modelo de Black-Litterman: la versión de fuerza industrial de «atraer la muestra ruidosa hacia un a priori sensato», y la cura estándar para la sensibilidad a las entradas que hace que los optimizadores de carteras ingenuos se autodestruyan.