Pairs Trading y Cointegración

En los años 80, un equipo de quants de Morgan Stanley se fijó en algo casi demasiado simple para ser una estrategia: cuando dos acciones casi idénticas —pongamos dos gigantes de los refrescos, o dos petroleras grandes— se separaban, casi siempre volvían a juntarse. Así que montaron una regla. Compra la barata, ponte corto en la cara, espera a que la brecha se cierre, embolsa la diferencia y repite. Sin opinión sobre el mercado, sin opinión sobre si las acciones suben o bajan: solo una apuesta a que la distancia entre dos cosas que van juntas no se quedará estirada para siempre. Esa operación es el pairs trading, y es el antepasado de toda la industria del arbitraje estadístico.

Todo el juego vive o muere por una sola pregunta: ¿cuándo una brecha es una goma elástica de verdad que se va a recuperar, frente a dos barcos que simplemente coincidieron en navegar cerca antes de alejarse hacia océanos opuestos? Falla en eso y no estarás arbitrando: estarás atrapando un cuchillo que cae con las dos manos. La herramienta matemática que distingue ambos casos es la cointegración, y como veremos, no es en absoluto lo mismo que la correlación a la que todo el mundo recurre primero.

La idea del pairs trade

Analogía. Imagina dos perros —Coca-Cola y Pepsi— paseados por el mismo dueño a través de un campo. El dueño es “el sector de refrescos”, y mientras pasea, ambos perros lo siguen más o menos. Los perros van unidos por una correa elástica: uno puede salir corriendo por delante y el otro rezagarse, pero la correa los va tirando de vuelta el uno hacia el otro. Un pairs trader no apuesta por adónde va el dueño (eso es la dirección del mercado, irrelevante aquí). Apuesta por la correa: cuando un perro se adelanta demasiado, ponte corto en él y compra el rezagado, y cobra cuando la correa los vuelve a juntar.

Definición. Un pairs trade elige dos activos impulsados por la misma fuerza económica subyacente —dos refresqueras, dos petroleras grandes, un ETF y la cesta de acciones que contiene, oro y mineras de oro— y opera el precio relativo, no el absoluto:

• Largo en la pata barata (la que se ha quedado atrás).
• Corto en la pata cara (la que se ha disparado).

Como mantienes un largo y un corto de tamaño comparable, un movimiento de todo el mercado sube (o hunde) ambas patas a la vez y se cancela. La posición es neutral al mercado por construcción: has cubierto “al dueño” y has conservado solo “la correa”.

Cuándo usarlo

El pairs trading brilla cuando puedes nombrar un auténtico vínculo económico entre dos activos: misma industria, mismos costes de insumos, uno es literalmente una cesta que contiene al otro. Flaquea cuando el “par” es una coincidencia rescatada al escanear miles de tickers buscando lo que cuadre dentro de la muestra (los pares minados por datos se rompen en cuanto los operas). Regla general: si no puedes explicarle a un colega escéptico, en una sola frase, por qué estos dos deberían estar atados, probablemente tengas un par espurio, no uno operable.

La correlación no basta

Analogía. Dos senderistas salen del mismo punto de partida y, durante una tarde, casualmente caminan en la misma dirección de la brújula: ambos van derivando hacia el norte. Las direcciones de sus pasos están muy correlacionadas. Pero no hay ninguna cuerda entre ellos. Al caer la noche uno está en una cresta y el otro en un valle, a kilómetros de distancia, y nada los atrae de vuelta. Correlación alta, ancla nula. Un pairs trade sobre estos dos te haría apostar a que la brecha se cierra, y nunca lo hace.

El quid. La correlación mide si los rendimientos de dos series (sus cambios paso a paso) se mueven juntos. No dice nada sobre los niveles, sobre si la brecha entre los precios tiene alguna tendencia a volver a un valor fijo. Puedes fabricar dos paseos aleatorios cuyos incrementos diarios estén correlacionados (empuja ambos con un shock compartido más un poco de ruido privado) y mostrarán una correlación gorda en cualquier ventana dada; y sin embargo, como cada uno es un paseo aleatorio, su diferencia es ella misma un paseo aleatorio, libre de irse al infinito. Correlación: alta. Reversión: ninguna.

Una serie estacionaria tiene una media y una varianza de largo plazo fijas: se menea alrededor de un nivel y no para de volver a casa. Una serie no estacionaria (el ejemplo clásico: un paseo aleatorio, también llamado integrado de orden 1, o $I(1)$) no tiene ese hogar; el nivel de hoy es solo el de ayer más un shock fresco, así que deriva indefinidamente. Los precios son casi siempre $I(1)$. La pregunta para un pairs trade es si alguna combinación de dos precios $I(1)$ logra ser estacionaria.

La huella dactilar de estos dos regímenes aparece de forma vívida en la función de autocorrelación: cuán relacionada está una serie con su propio pasado:

Cointegración — el verdadero premio

Analogía. Volvamos a los dos perros con la correa elástica. Por separado, la posición de cada perro es un paseo aleatorio: deambula por todo el campo sin un punto fijo al que vuelve (cada uno es $I(1)$). Pero la longitud de la correa —la distancia entre ellos— está fijada: se estira y se contrae pero siempre vuelve de golpe a su longitud natural. Esa correa es una combinación estacionaria de dos cosas no estacionarias. Eso, exactamente, es la cointegración.

Definición. Dos series de precios no estacionarias ($I(1)$) $P_a$ y $P_b$ están cointegradas si existe una constante $\beta$ —el hedge ratio— tal que la combinación lineal

$S_t = P_{a,t} - \beta\, P_{b,t}$

es estacionaria ($I(0)$): tiene una media fija $\mu$ y revierte a ella. El vector $(1, -\beta)$ se llama el vector de cointegración, y $S_t$ es tu spread. Los precios pueden cada uno irse a la luna, pero $\beta$ está afinado para que su diferencia ponderada se mantenga atada.

El hedge ratio $\beta$ responde a “¿cuántas unidades de $B$ hacen falta para neutralizar una unidad de $A$?”. Si el activo $A$ se mueve típicamente 1,50 $ por cada movimiento de 1,00 $ en $B$, entonces $\beta \approx 1.5$, y un spread más o menos neutral en dólares pone corto 1,5 unidades de $B$ contra cada unidad de $A$.

Estimar β — los dos pasos de Engle–Granger

La receta clásica (Engle & Granger, 1987, que le valió a Granger un Nobel) son dos movimientos:

1. Estima el vector de cointegración. Regresa $P_a$ sobre $P_b$ por mínimos cuadrados ordinarios: $P_{a,t} = \alpha + \beta\,P_{b,t} + \varepsilon_t$. La pendiente $\hat\beta$ es tu hedge ratio; el residuo $\hat\varepsilon_t$ es el spread.
2. Prueba la estacionariedad del residuo. Aplica un test de Dickey–Fuller aumentado (ADF) sobre $\hat\varepsilon_t$. Su hipótesis nula es “el residuo tiene una raíz unitaria” (es decir, es un paseo aleatorio no estacionario: no hay cointegración). Un p-valor del ADF pequeño (digamos < 0.05) te permite rechazar esa nula y concluir que el spread es estacionario: el par está cointegrado y tienes una goma elástica operable.

Ejemplo resuelto. Regresas KO sobre PEP y los MCO devuelven $\hat\alpha = 4.0$, $\hat\beta = 0.80$. Así que tu spread es

$S_t = P_{\text{KO}} - 0.80\,P_{\text{PEP}} - 4.0.$

Metes la serie de residuos en un test ADF y obtienes un p-valor de 0.012. Como $0.012 < 0.05$, rechazas la nula de raíz unitaria: el spread es estacionario. El par está cointegrado con hedge ratio 0,80 —ponte corto 0,80 acciones de PEP por cada acción de KO y la combinación revierte. (Si en cambio el p-valor hubiera sido 0.34, no rechazarías, concluirías que no hay cointegración y te apartarías: no hay goma elástica.)

Cuándo usarlo

La cointegración es la lente adecuada siempre que sospeches un vínculo estructural que fije una relación de largo plazo: un ETF y su cesta subyacente (casi mecánico), dos clases de acción de la misma empresa, una materia prima y sus productores, acciones cotizadas en dos divisas. Reestima $\beta$ sobre una ventana móvil: la relación de equilibrio puede ir desplazándose despacio, y un hedge ratio caduco deja calladamente de ser neutral al mercado.

Construir y operar el spread

Has establecido que el par está cointegrado y tienes $\beta$. Ahora tienes que convertir el spread en señales. Los valores brutos del spread (“la brecha es 3,20 $”) son difíciles de accionar: ¿es 3,20 $ mucho? Depende de la escala típica del spread. Así que lo estandarizas en un z-score: a cuántas desviaciones estándar se sitúa ahora mismo el spread de su propia media.

$z_t = \frac{S_t - \mu}{\sigma}$

donde $\mu$ es la media del spread y $\sigma$ su desviación estándar (estimada sobre una ventana móvil). Ahora cada par habla el mismo idioma: $z = +2$ significa “dos sigma caro”, $z = -2$ significa “dos sigma barato”, sea cual sea la escala de precio del activo. La estrategia de bandas clásica:

• Entra CORTO en el spread cuando $z \ge +2$ (el spread está inusualmente caro → corto en $A$, largo $\beta$ unidades de $B$).
• Entra LARGO en el spread cuando $z \le -2$ (inusualmente barato → largo en $A$, corto $\beta$ unidades de $B$).
• Sal cuando $z$ vuelve cerca de 0 (el spread está de vuelta en el equilibrio: cobra).
• Stop opcional en $z = \pm 3$: si atraviesa del todo tres sigma en lugar de revertir, puede que la cointegración se haya roto: corta la operación en vez de promediar a la baja.

Este es el plato fuerte. Arrastra la banda de entrada y resimula para sentir el compromiso entre operar a menudo (banda estrecha, más ruido) y esperar a tener convicción (banda ancha, señales más raras):

Ejemplo resuelto. Tu spread KO–PEP tiene media $\mu = 4.0$ y desviación estándar $\sigma = 1.2$. Hoy el spread en vivo es $S_t = 6.7$. Entonces

$z_t = \frac{6.7 - 4.0}{1.2} = \frac{2.7}{1.2} = 2.25.$

Como $z = 2.25 \ge +2$, el spread está caro: entra corto en el spread —corto en KO, largo 0,80 unidades de PEP por acción de KO. Saldrás cuando el spread vuelva a caer hacia 4,0 $ ($z \approx 0$). Si en cambio siguiera subiendo hasta $z = 3.1$, tu stop de $\pm 3$ saltaría y cerrarías con pérdida, sospechando que la goma elástica se ha roto.

Vida media de la reversión a la media

Un spread estacionario revierte, pero ¿cómo de rápido? Un spread que cierra su brecha en dos días es una gran operación; uno que tarda ocho meses en revertir inmoviliza capital, acumula costes de financiación y le da a la relación tiempo de sobra para romperse antes de que llegues a cobrar. La velocidad de reversión la captura la vida media.

El modelo. Modela el spread como un proceso de Ornstein–Uhlenbeck (el primo en tiempo continuo de una autorregresión AR(1)): cada periodo el spread es atraído de vuelta hacia su media por una fracción, más un shock aleatorio. En forma discreta AR(1):

$S_t - \mu = \phi\,(S_{t-1} - \mu) + \epsilon_t,$

donde $\phi$ (entre 0 y 1) es cuánto de la desviación de ayer sobrevive hasta hoy. Un $\phi$ cercano a 1 significa reversión lenta (la mayor parte de la brecha persiste); un $\phi$ pequeño significa reversión enérgica. La velocidad de reversión continua es $\kappa = -\ln\phi$, y la vida media —el tiempo que tarda el spread en cerrar la mitad de su distancia a la media— es

$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\kappa} = \frac{\ln 2}{-\ln \phi}.$

Ejemplo resuelto. Ajustas un AR(1) al spread diario y obtienes $\phi = 0.95$. Entonces:

$\kappa = -\ln(0.95) = 0.0513, \qquad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{0.0513} = \frac{0.6931}{0.0513} \approx 13.5 \ \text{días}.$

Así que una dislocación típica tarda unos 13,5 días de cotización en cerrar la mitad de su brecha —llámalo aproximadamente tres semanas para un viaje completo de ida y vuelta. Eso fija expectativas: mantén durante días-a-semanas, no minutos; presupuesta costes de financiación/préstamo a lo largo de esa ventana; y si una operación sigue abierta bastante más allá de un par de vidas medias, trátalo como un aviso, no como una ganga.

Cuándo usarlo

Usa la vida media para dimensionar tu horizonte y tus costes, no como un filtro de sí/no por sí sola. Ajusta a ella tu frecuencia de datos y tu tiempo de stop (una vida media de 13 días quiere velas diarias y una paciencia de varias semanas, no un gráfico de 5 minutos). Y compara la vida media entre pares candidatos: dados dos pares cointegrados, el de vida media más corta recicla capital más rápido y pasa menos tiempo expuesto a que la relación se rompa.

Cuando se rompe

Aquí va la verdad incómoda: la cointegración es una observación estadística sobre el pasado, no una ley de la naturaleza. La correa puede romperse. Una fusión o adquisición funde o corta la relación de la noche a la mañana; un cambio de régimen (una nueva regulación, una tecnología que disrumpe a una firma, un shock de materias primas que golpea más fuerte a una pata) revaloriza permanentemente un lado; los fundamentales de una empresa divergen de verdad —distinto crecimiento, distinta deuda, distinto destino. Cuando eso ocurre, el “spread” que operas ya no es una goma elástica. Son solo dos precios yéndose por caminos separados.

El modo de fallo letal. Tu spread llega a $z = -3$. Tu modelo grita “históricamente barato, ¡carga!”. Así que doblas la apuesta. Pero la razón de que esté en $-3$ es que la relación se rompió —una firma quedó aplastada por noticias que el modelo no puede ver— y el spread sigue justo hacia $-4$, $-5$, sin revertir nunca. Has caído de lleno en una trampa de valor: promediar hacia dentro de una posición precisamente porque parece barata, cuando “barata” es en realidad “revalorizada permanentemente”. Así es como revientan los libros de pares. La lógica de reversión a la media que hace funcionar la estrategia es la misma lógica que te destruye cuando la media se ha movido.

Analogía. La correa no se estiró: se rompió. Sigues tirando, esperando que el perro vuelva de un tirón, pero ya no hay ningún perro al otro lado. Cada tirón solo recoge cuerda floja.

Gestión del riesgo — lo que de verdad te mantiene con vida:

• Stops duros (p. ej. salir en $z = \pm 3$): limita la pérdida en cualquier par individual en lugar de promediar hacia dentro de uno roto. Un stop es tu forma de admitir “si no ha revertido a estas alturas, mi tesis de reversión probablemente esté equivocada”.
• Límites de posición por par y entre pares: ninguna goma elástica individual debería poder hundir el libro. Diversifica entre muchos pares débilmente relacionados para que una correa rota sea un arañazo, no una herida.
• Monitoriza un p-valor del ADF móvil: vuelve a correr el test de cointegración sobre una ventana móvil. Si el p-valor va subiendo (el spread está perdiendo su estacionariedad), eso es un aviso temprano de que la relación se está degradando: reduce riesgo antes de que sea un desastre.
• Vigila los eventos corporativos: marca fusiones, escisiones, cambios de índice, resultados en cualquiera de las patas. Estos son los sospechosos habituales detrás de una ruptura repentina.

Juntándolo todo

El pairs trading es el arbitraje estadístico original: encuentra dos activos atados por una fuerza económica compartida, ponte largo en la pata barata y corto en la cara, y cosecha la brecha a medida que se cierra —neutral al mercado por construcción. La clave no obvia es que la correlación no es la atadura —la correlación va de rendimientos co-moviéndose, sin ancla— mientras que la cointegración te da un spread estacionario con una media fija a la que revierte. Estima el hedge ratio $\beta$ (Engle–Granger: regresa, luego haz el test ADF al residuo), estandariza el spread a un z-score, opera las bandas de ±2σ, lee la vida media ($\ln 2 / \kappa$) para dimensionar tu horizonte y costes, y nunca olvides que la correa puede romperse, así que mantén un stop.

Ya sabes cómo encontrar un spread operable y cuándo apostar a que revierte. Pero debajo acecha una pregunta más afilada: ¿cómo sabes, en general, si un mercado quiere revertir (volver de golpe, como nuestro spread) o seguir la tendencia (continuar, donde doblar la apuesta es lo correcto y desvanecerla es suicida)? El pairs trading es una apuesta pura por la reversión a la media: su enemigo mortal es un régimen donde las cosas siguen divergiendo. La próxima lección, Reversión a la media vs Momentum, aleja el zoom del spread individual hacia las dos fuerzas opuestas que gobiernan todas las estrategias sistemáticas, y cómo saber en cuál de ellas estás parado.