Paridad de riesgo y restricciones

Terminamos donde la teoría se encuentra con la mesa de trading. Dos temas cierran el curso. Primero, la paridad de riesgo — toda una familia de métodos de asignación que tira las previsiones de rendimiento (el insumo más ruidoso y peligroso) y en su lugar equilibra cuánto riesgo aporta cada activo, sobre la intuición de que un fondo “equilibrado” 60/40 es en secreto una apuesta de ~90 % de riesgo de renta variable. Segundo, las restricciones y costes que gobiernan toda cartera real: no puedes vender en corto en un mandato de solo largos, no puedes tener un 80 % en una acción, y cada operación paga al bróker — fricciones que calladamente remodelan lo que significa siquiera “óptimo”. Domina esto y podrás construir una cartera que sobreviva no solo a la hoja de cálculo sino al mercado.

Contribución al riesgo: los euros iguales no son riesgo igual

Analogía. Tres personas empujan un coche. Si mides su esfuerzo por dónde están de pie, dirías que contribuyen por igual. Pero si uno es halterófilo y dos son niños, el halterófilo aporta casi toda la fuerza. Una cartera es lo mismo: los pesos en euros te dicen dónde está cada uno, pero las contribuciones al riesgo te dicen quién está empujando de verdad — y el activo volátil es el halterófilo.

Definición. La volatilidad de la cartera es $\sigma_p = \sqrt{w^\top\Sigma w}$. La contribución marginal al riesgo de cada activo es cuánto sube $\sigma_p$ si empujas su peso: $\text{CMR}_i = \frac{(\Sigma w)_i}{\sigma_p}$. Su contribución total al riesgo es el peso por la contribución marginal: $\text{CR}_i = w_i \cdot \text{CMR}_i = \frac{w_i(\Sigma w)_i}{\sigma_p}.$ Un hecho hermoso: estas suman la volatilidad total, $\sum_i \text{CR}_i = \sigma_p$, así que las fracciones $\text{CR}_i / \sigma_p$ son un limpio gráfico circular de “quién posee el riesgo” que suma el 100 %.

Ejemplo resuelto (60/40, ignorando la correlación para mayor claridad). Acciones: peso 0,6, volatilidad 18 %. Bonos: peso 0,4, volatilidad 5 %. Trátalos como no correlacionados, así que la contribución al riesgo de cada activo es proporcional a $w_i^2\sigma_i^2$:

• Acciones: $0\,6^2 \times 0\,18^2 = 0\,36 \times 0\,0324 = 0\,011664$.
• Bonos: $0\,4^2 \times 0\,05^2 = 0\,16 \times 0\,0025 = 0\,0004$.
• Total $= 0\,012064$.
• Cuota de riesgo de las acciones: $0\,011664 / 0\,012064 \approx 96\,7\%$.

La “equilibrada” cartera 60/40 es en realidad una apuesta de ~97 % de riesgo de acciones (un poco menos del 90 % una vez que añades una correlación positiva realista, pero la idea se sostiene). Tus bonos van de paquete.

Paridad de riesgo: igualar las contribuciones al riesgo

La idea. En vez de igualar euros (1/N) o maximizar una ruidosa ratio de Sharpe, la paridad de riesgo elige pesos de modo que cada activo aporte el mismo riesgo: $\text{CR}_1 = \text{CR}_2 = \cdots = \text{CR}_N.$ Esta es la cartera de contribución igualada al riesgo (ERC). No requiere ninguna previsión de rendimiento esperado — solo la matriz de covarianzas — así que sortea por completo el insumo más peligroso del optimizador, igual que la mínima varianza pero con un perfil de riesgo distinto y a menudo mejor diversificado.

El caso simple. Si los activos no están correlacionados, la contribución igualada al riesgo significa ponderar inversamente a la volatilidad: $w_i \propto 1/\sigma_i$. El activo tranquilo recibe más euros, el volátil menos, hasta que cada uno empuja el coche con la misma fuerza. Con correlaciones, resuelves un pequeño problema numérico, pero la intuición de la volatilidad inversa se mantiene.

Ejemplo resuelto (volatilidad inversa). Acciones volatilidad 18 %, bonos volatilidad 5 %, materias primas volatilidad 15 %. Volatilidades inversas: $1/0\,18 = 5\,56$, $1/0\,05 = 20\,0$, $1/0\,15 = 6\,67$; suma $= 32\,23$. Pesos: $w = \left(\tfrac{5\,56}{32\,23},\ \tfrac{20\,0}{32\,23},\ \tfrac{6\,67}{32\,23}\right) \approx (0\,172,\ 0\,620,\ 0\,207).$ La paridad de riesgo pone un 62 % en el tranquilo bono y solo un 17 % en acciones — la inclinación opuesta al 60/40. Cada activo ahora aporta aproximadamente un tercio del riesgo.

La salvedad del apalancamiento. Como la paridad de riesgo amontona capital en activos de baja volatilidad, la cartera sin apalancar tiene bajo riesgo total y por tanto bajo rendimiento esperado. Para alcanzar un objetivo de rendimiento tipo renta variable, los fondos de paridad de riesgo normalmente aplican apalancamiento (se endeudan para escalar toda la cartera hacia arriba). Esa es la famosa crítica de “la paridad de riesgo usa apalancamiento”: la diversificación es real, pero alcanzar rendimientos competitivos significa endeudarse, lo que añade riesgo de financiación y puede doler mucho cuando las correlaciones se disparan y todo cae junto (p. ej. un shock de tipos golpeando a la vez acciones y bonos).

Restricciones de solo largos y de caja

Por qué restringir siquiera. Como vimos, los optimizadores no restringidos producen posiciones salvajes, apalancadas y no operables. Las restricciones a la vez hacen las carteras implementables y defienden contra el error de estimación al bloquear físicamente las apuestas extremas a las que el ruido tienta al optimizador.

Las restricciones comunes.

• Solo largos: cada $w_i \ge 0$ — sin ventas en corto. Exigida para la mayoría de fondos de inversión y muchos mandatos. Esta única restricción doma drásticamente al optimizador; de hecho, una restricción de solo largos actúa muy parecido a la contracción, porque prohíbe las operaciones de ruido largo/corto compensatorias que arruinan la optimización ingenua.
• Restricciones de caja: límites inferior y superior por activo, $\ell_i \le w_i \le u_i$ (p. ej. “no más del 5 % en una sola acción”, “al menos un 1 % en cada una”). Evita la concentración y fuerza un mínimo de diversificación.
• Presupuesto / plenamente invertido: $\sum w_i = 1$ (siempre presente).
• Restricciones de grupo/sector: “no más del 30 % en tecnología”, “al menos un 20 % en bonos” — capas de gestión de riesgo.

El efecto. Con restricciones la forma cerrada desaparece y resuelves un programa cuadrático numéricamente — rápido y fiable. La solución restringida es menos óptima sobre la muestra (ruidosa) pero típicamente más robusta fuera de muestra, porque las restricciones absorben el error de estimación que el optimizador expresaría de otro modo como posiciones extremas.

Ejemplo resuelto. Un optimizador no restringido quiere $w = (1\,8, -0\,9, 0\,1)$ — una apuesta del 180 % largo, 90 % corto. Añade una restricción de solo largos ($w_i \ge 0$) y un tope del 60 % ($w_i \le 0\,6$): el optimizador se ve forzado hacia algo como $(0\,6, 0\,0, 0\,4)$ — todavía inclinado hacia el activo 1, pero operable, diversificado y mucho menos expuesto al ruido que impulsó el corto del −90 %. Cediste una pizca de optimalidad muestral por una enorme ganancia de cordura en el mundo real.

Costes de transacción y rotación

La fricción. Cada operación cuesta dinero — comisiones, el diferencial entre oferta y demanda, y el impacto en el mercado (tu propia compra empuja el precio al alza). Estos costes escalan con la rotación: la cantidad total que negocias para pasar de tu cartera actual al nuevo objetivo. Un optimizador que ignora los costes reequilibrará alegremente de forma agresiva cada periodo, persiguiendo reestimaciones ruidosas, y entregará toda su ventaja al bróker.

Definición. La rotación en un reequilibrio es (aproximadamente) la suma de los cambios absolutos de peso, $\text{RO} = \sum_i |w_i^{\text{nuevo}} - w_i^{\text{antiguo}}|$. El coste de operar es aproximadamente la rotación por un coste unitario $c$ (en puntos básicos). Para controlarlo, añade una penalización de rotación al objetivo: $\max_w\ w^\top\mu - \tfrac{\lambda}{2}w^\top\Sigma w - c\sum_i |w_i - w_i^{\text{antiguo}}|.$ La penalización crea una región de no operar: los cambios pequeños de señal no justifican el coste de operar, así que la cartera solo se mueve cuando el beneficio esperado supera claramente al coste. Esto recorta la rotación y estabiliza la cartera con el tiempo.

Ejemplo resuelto. Tu señal bruta sugiere un reequilibrio con rotación del 200 % (negociarías el doble del valor de tu cartera a lo largo de un año). A un coste de ida y vuelta de $c = 30$ pb, eso es $2\,0 \times 0\,0030 = 0\,006 = 0\,6\%$ de los activos perdidos en costes al año — y eso es modesto. Una señal de alta frecuencia con rotación del 800 % al mismo coste sangra $8\,0 \times 0\,0030 = 2\,4\%$ al año, que puede empequeñecer cualquier alfa que la señal genere. El arreglo: penalizar la rotación hasta que se maximice el rendimiento esperado neto (después de costes), no el bruto.

Atándolo todo

La paridad de riesgo abandona las previsiones de rendimiento e iguala la contribución al riesgo de cada activo ($\text{CR}_i = w_i(\Sigma w)_i/\sigma_p$, que suma la volatilidad total), corrigiendo el hecho de que los euros iguales no son riesgo igual — un fondo 60/40 es ~90 % de riesgo de renta variable. El caso no correlacionado es la ponderación por volatilidad inversa; alcanzar rendimientos competitivos normalmente necesita apalancamiento, cuyo talón de Aquiles son las correlaciones disparándose hacia 1 en una crisis. Las restricciones — solo largos ($w_i \ge 0$, que actúa como contracción implícita), límites de caja, topes sectoriales — hacen las carteras operables y defienden contra el error de estimación al bloquear apuestas extremas, resueltas mediante un programa cuadrático. Los costes de transacción escalan con la rotación; una penalización de rotación crea una región de no operar para que reequilibres solo cuando el beneficio supera al coste, y siempre debes optimizar sobre rendimientos netos, no brutos. Apila la contracción (limpia insumos), las restricciones (limpia salidas) y las penalizaciones de rotación (limpia dinámica) y tendrás un optimizador robusto digno de operarse.

Eso completa la caja de herramientas: desde el problema de optimización desnudo, pasando por la matriz de covarianzas y las carteras en forma cerrada, hasta el error de estimación que hace de la optimización ingenua un maximizador de errores, y finalmente la contracción, los estimadores robustos, la asignación basada en riesgo, las restricciones y la consciencia de los costes que convierten el frágil optimizador en uno digno de operarse. A continuación está el examen final — una pasada con nota, de un solo intento, por todo el curso para demostrar que toda la estructura se asentó.