Riesgo sistémico y contagio

Imaginad la noche en que Lehman Brothers se declaró en quiebra en 2008. Lehman era, en su propio balance, una única empresa —grande, sí, pero un nodo entre miles—. Un modelo de riesgo tabular mirando los propios estados financieros de Lehman quizá lo habría marcado como tambaleante. Lo que ningún modelo por empresa del mundo podía ver era la red: los fondos del mercado monetario que tenían papel de Lehman, los bancos que habían prestado a esos fondos, los fondos que “rompieron el dólar” y desataron una retirada masiva, los mercados de financiación a corto plazo que se congelaron y dejaron sin liquidez a empresas sanas. Lehman no cayó solo. Tiró de los demás.

Ese tirón es el riesgo sistémico, y es el mejor argumento que existe para tratar las finanzas como un grafo en lugar de como una hoja de cálculo. Una fila de una tabla describe un banco de forma aislada. Una arista de una red describe quién debe a quién —y el contagio vive enteramente en las aristas—. Esta lección es la aplicación estelar de todo lo que habéis construido: predicción a nivel de nodo (lección 2), paso de mensajes inductivo (lección 3) y la observación contundente de que el riesgo más peligroso de las finanzas es justo el tipo que una tabla literalmente no puede representar.

Qué es el riesgo sistémico y por qué una tabla no puede verlo

Analogía. El riesgo sistémico es la diferencia entre preguntar “¿es pesada esta ficha de dominó?” y preguntar “¿en qué punto de la fila está esta ficha?”. Una ficha pesada que está sola se cae y no pasa nada. Una ficha ligera colocada de modo que otras doce se apoyen en ella puede tumbar toda la fila. O pensad en una red eléctrica: las especificaciones propias de una subestación no os dicen casi nada sobre si su fallo dejará sin luz a tres regiones. El peligro está en el cableado, no en la caja.

Definición. El riesgo sistémico es el riesgo de que el fallo o la dificultad de un nodo de una red financiera se propague por las conexiones de la red, dañando a otros nodos que individualmente estaban sanos. Es una propiedad del sistema, no de una empresa concreta. Formalmente, si cada banco $i$ tiene cierta salud $H_i$, el riesgo sistémico pregunta cómo un choque sobre un $H_j$ fluye a lo largo de las aristas para cambiar todos los demás $H_i$ —una pregunta sobre la topología de las conexiones, no sobre la columna de características de ningún nodo concreto.

Un modelo tabular por empresa puntúa cada banco a partir de un vector de características de sus propios atributos: ratio de capital, apalancamiento, calidad de los activos, rentabilidad. Produce una probabilidad de que ese banco quiebre por sus propios méritos. Por construcción es ciego a “quién está conectado con quién”, porque la información de conexión nunca estuvo en la tabla. Podéis apilar cien características por empresa y aun así nunca codificar el único hecho que importa para el contagio: el destino del banco A está cableado al del banco B.

Ejemplo resuelto. Los bancos A y B declaran ambos un colchón de capital de $50m, un apalancamiento de 10x y una calidad de activos impecable. Un modelo tabular puntúa a ambos, digamos, con una probabilidad de impago a un año del 2 por ciento —idéntica, porque sus filas son idénticas—. Pero supongamos que el banco A ha prestado $80m a un nodo central inestable que la red ya sabe que es frágil, mientras que los $80m del banco B están repartidos entre diez contrapartes sólidas como una roca. Si el nodo central impaga con una pérdida en caso de impago del 70 por ciento, el banco A absorbe $0.70 \times 80 = 56$ (en $m) en pérdidas —más que su colchón de $50m, así que A quiebra—. El banco B no pierde nada comparable. La misma fila de la tabla, destino opuesto. El modelo que los puntuó como gemelos estaba estructuralmente equivocado, y ninguna cantidad de ingeniería de características sobre las propias columnas de A lo arregla.

Cuándo usarlo

Recurrid a una lente de riesgo sistémico siempre que los fallos que os preocupan estén correlacionados a través de conexiones en lugar de ser independientes: préstamos interbancarios, cadenas de suministro, sistemas de pago, redes de reaseguro o cualquier cartera donde las contrapartes se solapan. Si los fallos son genuinamente independientes —una cartera diversificada de préstamos al consumo no relacionados, por ejemplo— un modelo por empresa puede bastar. En el momento en que el colapso de una entidad puede causar el de otra, necesitáis el grafo.

La red de préstamos interbancarios

Analogía. Pensad en el sistema bancario como un diagrama de fontanería. Cada banco es un depósito de agua (el capital). Las tuberías conectan los depósitos, y cada tubería transporta el agua en un solo sentido —del prestamista a la obligación del prestatario—. Cuando un depósito se agrieta (un banco impaga), los prestamistas aguas arriba pierden el agua que se les debía. Una tubería grande hacia un depósito pequeño es la receta para inundar el suelo.

Definiciones. La red interbancaria es un grafo dirigido y con pesos:

• Los nodos son bancos (o cualquier empresa financiera).
• Una arista dirigida de $X$ a $Y$ significa que $X$ prestó a $Y$ —así que $X$ tiene una exposición frente a $Y$—. El peso de la arista $w_{X \to Y}$ es el tamaño de esa exposición (la cantidad que $X$ puede perder si $Y$ se tuerce).
• La exposición es la cantidad que un prestamista tiene en riesgo frente a una contraparte determinada.
• El colchón de capital de un banco $C_i$ es el cojín de fondos propios que puede consumir antes de volverse insolvente —las pérdidas hasta $C_i$ son sobrevivibles; las pérdidas más allá de $C_i$ significan la quiebra.
• La pérdida en caso de impago (LGD) es la fracción de una exposición que realmente se pierde cuando el prestatario impaga. Si $Y$ debe $100 y recuperáis $40 en la quiebra, la LGD es del 60 por ciento. La pérdida realizada para el prestamista es $\text{LGD} \times \text{exposición}$.

Jugad con una en vivo más abajo. Elegid un banco que impague, ajustad el deslizador de la pérdida en caso de impago y observad cómo la pérdida se propaga hacia fuera ronda a ronda. Fijaos en que el mismo banco detonante puede causar una onda diminuta o un colapso de todo el sistema dependiendo solo de la LGD y de quién está aguas abajo —la topología hace el trabajo.

Ejemplo resuelto. El banco $Y$ impaga debiendo $100 (en unidades) al prestamista $X$. La recuperación es mala, así que $\text{LGD} = 60\%$. La pérdida que fluye por la arista hacia $X$ es

$\text{pérdida}_{X} = \text{LGD} \times \text{exposición} = 0.60 \times 100 = 60.$

Ahora comprobemos el colchón de $X$. Si $X$ tiene un colchón de capital $C_X = 50$, entonces su pérdida de $60$ supera su cojín de $50$ en $10$:

$\text{pérdida}_X = 60 > C_X = 50 \implies X \text{ se vuelve insolvente}.$

Así que $X$ —un banco que no hizo nada mal, que concedió un préstamo de lo más corriente— también quiebra, en la ronda siguiente. Si la LGD hubiera sido del 40 por ciento, la pérdida de $X$ habría sido $0.40 \times 100 = 40 < 50$, y $X$ sobrevive, magullado pero en pie. Un deslizador, dos sistemas completamente distintos. Ese es todo el juego.

Cuándo usarlo

Modelad el grafo interbancario explícitamente siempre que tengáis, o podáis estimar, las exposiciones bilaterales entre empresas —reguladores con datos de reporte, una cámara de compensación o un fondo de fondos que conoce sus contrapartes subyacentes—. Cuando las exposiciones exactas están ocultas (lo habitual para observadores externos), la red se reconstruye estadísticamente a partir de partidas agregadas del balance, y los supuestos de la reconstrucción importan enormemente para la cascada que calcularéis.

La cascada de impagos

Analogía. Una cascada de impagos es como las fichas de dominó, pero con un matiz: cada ficha solo cae si le cae encima suficiente peso. En la ronda 0, das un toque a la primera ficha. En la ronda 1, cada ficha en la que se apoya recibe el golpe —pero solo caen realmente las que no pueden soportar la carga—. En la ronda 2, esas nuevas fichas caídas empujan a su vez, y así sucesivamente, hasta que pasa una ronda en la que no cae nada nuevo. La fila queda en silencio y se cuentan los destrozos.

Definición. Una cascada de impagos es la propagación ronda a ronda de quiebras por el grafo de exposiciones:

• Ronda 0. Un conjunto de bancos semilla impaga (el choque inicial).
• Cada ronda posterior $t$. Para cada banco $i$ todavía solvente, sumad las pérdidas que ha sufrido de todas las contrapartes que impagaron en las rondas $0 \ldots t-1$. El banco $i$ quiebra esta ronda si esas pérdidas acumuladas superan su colchón de capital:

$\sum_{j \,\in\, \text{en impago}} \text{LGD} \times w_{i \to j} \;>\; C_i.$

• Parad cuando una ronda completa no produzca nuevos impagos. El conjunto de bancos quebrados es la huella de la cascada; las pérdidas sumadas son su gravedad.

Ejemplo resuelto — una cadena A → B → C. Leed las flechas como exposiciones: $A$ prestó a $B$, y $B$ prestó a $C$. Supongamos:

con los colchones de capital $C_C$ irrelevante (C es la semilla), $C_B = 50$ y $C_A = 40$.

• Ronda 0. $C$ impaga (el choque semilla).
• Ronda 1. $B$ había prestado $120 a $C$. Su pérdida es $0.50 \times 120 = 60$. Comparad con el colchón de $B$: $60 > 50$, así que $B$ quiebra. Mientras tanto $A$ no ha perdido nada hasta ahora (su prestatario $B$ aún no ha impagado, solo se ha vuelto insolvente esta ronda), así que $A$ aguanta.
• Ronda 2. Ahora que $B$ ha impagado, la pérdida de $A$ en su préstamo de $90 a $B$ es $0.50 \times 90 = 45$. Comparad con el colchón de $A$: $45 > 40$, así que $A$ también quiebra.
• Ronda 3. No queda ningún banco solvente con nuevas pérdidas. La cascada se detiene. Un único impago semilla ($C$) tumbó toda la cadena —tres bancos caídos por un solo choque, a dos saltos de profundidad.

Fijaos en que la cascada llegó a $A$ aunque $A$ nunca prestó ni un céntimo al impagador original $C$. $A$ estaba a dos saltos de distancia y aun así murió. Eso es el contagio: el daño viaja por caminos, no solo a los vecinos inmediatos.

Cuándo usarlo

Ejecutad una simulación de cascada explícita cuando necesitéis una respuesta mecanicista y auditable a “¿qué pasa si el banco $j$ quiebra?” —pruebas de resistencia, escenarios hipotéticos regulatorios, fijar recargos de capital para bancos de importancia sistémica—. La cascada es transparente y causal: podéis señalar cada ficha de dominó. Su coste es que necesita la matriz completa de exposiciones y una elección de LGD, y cuenta cada camino de forma discreta (un banco o ha quebrado o no), que es justo la rigidez que motiva la siguiente medida, más suave.

DebtRank — impacto sistémico sin doble conteo

Analogía. La cascada de impagos es un juego binario de fichas de dominó —una ficha está en pie o caída—. DebtRank se parece más a medir hasta dónde se propaga un rumor por un pueblo cuando una persona se pone nerviosa: no todo el mundo cunde el pánico del todo, la gente transmite una fracción de su preocupación, y, lo que es crucial, no dejas que el rumor rebote una y otra vez entre los dos mismos chismosos inflando la cuenta para siempre. Dejas que cada persona difunda su inquietud una vez, y luego cuentas cuánto del pueblo está alterado.

Definición. DebtRank es una medida recursiva de la fracción del valor económico total del sistema que se vería afectada si un nodo (o un conjunto de nodos) entra en dificultad —no necesariamente en impago total—. Cada nodo $i$ lleva un nivel de dificultad $h_i \in [0, 1]$ ($0$ = sano, $1$ = totalmente en impago) y un peso de valor económico $v_i$ (su cuota del valor total del sistema, con $\sum_i v_i = 1$). La dificultad se propaga por las aristas con una ponderación de pérdida relativa: si la dificultad del prestatario $j$ sube en $\Delta h_j$, su prestamista $i$ absorbe un impacto proporcional a la exposición $w_{i \to j}$ relativa al propio capital de $i$. La disciplina clave: a cada nodo se le permite transmitir su dificultad hacia adelante solo una vez (pasa a un estado “inactivo” después de transmitirla), de modo que los bucles de realimentación no dejan que el impacto circule para siempre.

El DebtRank de un choque inicial es entonces el aumento de la dificultad, ponderado por valor económico, en todo el sistema, menos la dificultad inicial de la propia semilla:

$\text{DebtRank} \;=\; \sum_{i} v_i \, h_i(\infty) \;-\; \sum_{i} v_i \, h_i(0).$

Leedlo así: “de todo el valor económico del sistema, ¿qué fracción adicional acaba en dificultad porque este nodo se tambaleó?”. Un DebtRank cercano a $1$ significa que este nodo puede sacudir prácticamente todo el sistema; cercano a $0$ significa que es periférico desde el punto de vista sistémico.

Ejemplo resuelto — una red estilizada de 3 nodos. Sean los nodos $\{1, 2, 3\}$ con pesos de valor económico iguales $v_1 = v_2 = v_3 = 1/3$. Sea el impacto que pasa de un prestatario en dificultad a su prestamista regido por exposiciones relativas (ya normalizadas por el capital del prestamista):

Aplicad un choque al nodo $1$ hasta la dificultad total: $h_1 = 1$, los demás empiezan en $h_2 = h_3 = 0$.

• Paso 1. El nodo $1$ (en dificultad) pasa impacto al nodo $2$: $h_2 \leftarrow \min(1,\; 0 + 0.8 \times 1) = 0.8$. El nodo $1$ pasa ahora a inactivo (ha difundido su dificultad una vez y no volverá a transmitir).
• Paso 2. El nodo $2$ (ahora en dificultad de $0.8$) pasa impacto al nodo $3$: $h_3 \leftarrow \min(1,\; 0 + 0.5 \times 0.8) = 0.4$. El nodo $2$ pasa a inactivo.
• Paso 3. El nodo $3$ no tiene arista saliente por la que transmitir; pasa a inactivo. Ningún nodo puede transmitir más —y, crucialmente, que el nodo $1$ esté inactivo significa que la dificultad del nodo $3$ no puede volver en bucle hacia $1$ y reinflar el total—. El paseo termina.

Dificultad final: $h_1 = 1,\ h_2 = 0.8,\ h_3 = 0.4$. El DebtRank (impacto más allá del valor de la propia semilla) es la dificultad ponderada por valor de todos los demás:

$\text{DebtRank} = \tfrac{1}{3}(0.8) + \tfrac{1}{3}(0.4) = \tfrac{1}{3}(1.2) = 0.40.$

Así que poner en dificultad al nodo $1$ mete en dificultad un 40 por ciento adicional del valor económico del sistema —aunque solo el nodo $1$ “impagó” de verdad—. Una suma ingenua sobre paseos que dejara rebotar la dificultad $1 \to 2 \to 3 \to \ldots \to 1 \to 2 \ldots$ habría inflado esto más allá de cualquier límite sensato; la regla de paseo único de DebtRank lo mantiene honesto.

Cuándo usarlo

Usad DebtRank cuando queráis un único número suave que ordene los nodos por importancia sistémica —a quién capitalizar más, a quién vigilar, a quién no dejar quebrar jamás—. A diferencia de la cascada binaria, captura la dificultad parcial y la contribución de los enlaces débiles (todavía no quebrados), y evita el doble conteo que aqueja a la suma ingenua de caminos. Combinadlo con la cascada: la cascada os dice el peor caso discreto, DebtRank os da una ordenación continua para el triaje.

Bucles de realimentación y amplificación

Analogía. Imaginad a dos personas de pie en los extremos opuestos de la misma cama de agua. Nunca se han tocado, nunca se han hablado —pero cuando una se deja caer, la otra sale disparada—. El colchón es el activo compartido, y el valor de mercado es el rebote. Ahora añadid un giro de realimentación: la persona disparada, debatiéndose, también se deja caer, lo que rebota de nuevo a la primera. Ese ir y venir es una espiral de ventas de liquidación, y es por lo que las pérdidas sistémicas son no lineales.

Definiciones.

• La contabilidad a valor de mercado obliga a un banco a valorar los activos a los precios de mercado actuales. Si el precio cae, el banco contabiliza una pérdida inmediatamente, incluso sin vender.
• Una venta de liquidación ocurre cuando un banco en dificultad arroja activos para conseguir liquidez; la presión vendedora empuja el precio a la baja.
• El solapamiento de activos comunes es una arista indirecta: dos bancos que mantienen el mismo activo están enlazados aun sin préstamo entre ellos, porque la venta de liquidación de uno rebaja el libro del otro. El “peso de la arista” es el tamaño de sus posiciones solapadas.
• Una espiral de ventas de liquidación es el bucle de realimentación: dificultad → venta de liquidación → caída de precio → pérdidas a valor de mercado en otros tenedores → su dificultad → más ventas de liquidación → más caídas de precio. Cada vuelta alimenta la siguiente.

Esta realimentación es por lo que el sistema es no lineal. Una regresión lineal por empresa supone implícitamente que las pérdidas se suman de forma independiente: chocad al banco A, obtened la pérdida A; chocad al banco B, obtened la pérdida B; pérdida total = A + B. Pero con realimentación, chocar a A y a B juntos produce pérdidas mayores que A + B, porque la venta de liquidación de A empeora la posición de B, lo que empeora la de A, y así sucesivamente. El modelo lineal no tiene ningún término para “tu pérdida depende de la pérdida que causaste en otro”, así que subestima sistemáticamente las pérdidas de cola —justo las pérdidas que más necesitáis dimensionar correctamente.

Ejemplo resuelto / ilustrativo — un multiplicador de amplificación. Supongamos que un choque causaría $100m de pérdidas directas si el sistema fuera estático. Pero cada $1 de venta forzada deprime el precio del activo común lo suficiente como para crear $0.40 adicionales de pérdidas a valor de mercado en todos los tenedores, lo que desencadena más ventas, y así sucesivamente. La pérdida total es una serie geométrica:

$\text{pérdida total} = 100 \times \left(1 + 0.4 + 0.4^2 + 0.4^3 + \cdots\right) = 100 \times \frac{1}{1 - 0.4}.$

Calculad el multiplicador: $\frac{1}{1 - 0.4} = \frac{1}{0.6} \approx 1.67$. Así que la pérdida total es

$100 \times 1.67 \approx 167,$

una amplificación del 67 por ciento sobre los $100m de daño directo. Un modelo lineal que contabilizara solo los $100m de la primera ronda habría infravalorado la pérdida real en $67m. Y el multiplicador explota a medida que la realimentación por vuelta se acerca a $1$: con una realimentación de $0.8$ el multiplicador es $\frac{1}{1-0.8} = 5\times$. El riesgo de cola vive en ese denominador.

Cuándo usarlo

Modelad la realimentación y las aristas indirectas (de activo común) siempre que el apalancamiento sea alto, los activos sean ilíquidos y las reglas de valor de mercado o de garantías puedan forzar la venta —es decir, siempre que una caída de precio pueda mecánicamente obligar a vender más—. En esos regímenes el multiplicador domina la cola e ignorarlo es negligencia. En entornos genuinamente líquidos, de bajo apalancamiento y de mantenimiento hasta el vencimiento, la realimentación es débil y una estimación de primera ronda (lineal) puede bastar —pero verificad ese supuesto en lugar de darlo por hecho.

Dónde entra la GNN

Analogía. DebtRank y la cascada son como una receta que un cocinero humano escribió a mano: “para hallar la dificultad de un nodo, coge la dificultad de sus vecinos, pondera por exposiciones, repite”. Una GNN es un cocinero que prueba miles de platos terminados (cascadas simuladas) y aprende a predecir el resultado directamente —la misma lógica subyacente de “el plato depende de las interacciones de sus ingredientes”, pero aprendida a partir de ejemplos en lugar de programada a mano, y lo bastante rápida como para probar un menú nuevo al instante.

El replanteamiento — esto es una tarea de predicción a nivel de nodo. Recordad de la lección 2 que las GNN hacen regresión o clasificación a nivel de nodo. El riesgo sistémico encaja a la perfección:

• Cada nodo (banco) obtiene una puntuación de fragilidad / importancia sistémica como su etiqueta.
• La etiqueta puede venir de la simulación (ejecutad miles de cascadas con choques aleatorios y registrad la pérdida de cascada esperada de cada banco o su DebtRank) o de la historia (pérdidas realizadas en episodios de tensión pasados).
• Las características son las columnas por empresa que usaba el modelo tabular —capital, apalancamiento, calidad de los activos— pero ahora el paso de mensajes añade la topología que la tabla no tenía.

El mecanismo es lo que importa. Una capa de GNN actualiza el estado oculto $h_i$ de cada banco a partir de los estados de sus vecinos:

$h_i^{(\ell+1)} = \sigma\!\left( W \, h_i^{(\ell)} \;+\; \sum_{j \in \mathcal{N}(i)} \frac{w_{i \to j}}{\,\text{(normalizador)}\,}\, h_j^{(\ell)} \right).$

Leedla junto a la actualización de DebtRank $h_i \leftarrow \sum_j (\text{pérdida relativa}) \, h_j$. Tienen la misma forma: el nuevo estado de un nodo es una combinación ponderada de los estados de sus vecinos, apilada a lo largo de las rondas/capas. La cascada programa a mano los pesos y el umbral; la GNN los aprende a partir de los datos. Apilad $L$ capas y un nodo “siente” todo lo que está dentro de $L$ saltos —exactamente el alcance multironda de una cascada—. Y como la lección 3 os dio GraphSAGE inductivo, la GNN entrenada puede puntuar un banco nuevo que no estaba en el grafo de entrenamiento, agregando a sus vecinos —sin reentrenamiento.

Intuición resuelta. Entrenad con etiquetas simuladas: para cada uno de los 3.000 bancos, ejecutad 10.000 escenarios de choque aleatorios, registrad la pérdida de cascada media del banco y usadla como su objetivo. La GNN aprende una función de (características propias + estructura del vecindario) a pérdida sistémica esperada. En inferencia produce esa puntuación en milisegundos por banco, frente a los minutos u horas que tardaría una nueva simulación de 10.000 escenarios —un sustituto rápido y diferenciable del simulador—. Lo de diferenciable importa: ahora podéis preguntar “¿qué exposición, si se recorta, reduce más la fragilidad del sistema?” leyendo los gradientes, algo que una simulación discreta no os puede dar directamente.

Aquí está la comparación hacia la que ha estado construyendo toda la lección:

Cuándo usarlo

Traed una GNN cuando (1) tengáis un grafo utilizable (exposiciones estimadas y/o solapamientos de activos comunes), (2) podáis generar etiquetas a partir de simulación o historia, y (3) necesitéis o bien velocidad (una puntuación de fragilidad en tiempo real para miles de bancos) o bien características (señales de topología para alimentar un modelo posterior). Quedaos con la cascada estructural pelada cuando necesitéis una respuesta puntual, totalmente auditable, y tengáis tiempo de simular. Y nunca despleguéis la puntuación de la GNN sin contrastarla con el simulador del que aprendió.

Recapitulación

Entrasteis sabiendo que un modelo por empresa puntúa cada banco a partir de su propia fila. Salís sabiendo por qué eso es estructuralmente fatal para el riesgo más importante de las finanzas: el contagio vive en las aristas, y una tabla no tiene aristas. Habéis trazado una cascada de impagos ronda a ronda, habéis visto morir igualmente a un banco a dos saltos del choque, y habéis visto que la profundidad va de la pérdida frente al colchón a lo largo de los caminos, no del grado bruto. Habéis conocido DebtRank —una medida suave, de paseo único, del impacto sistémico (no de la probabilidad)— y los bucles de realimentación de ventas de liquidación cuyo multiplicador de amplificación hace el sistema no lineal y humilla a todo modelo lineal en la cola. Y habéis visto el remate: el paso de mensajes de una GNN es la recursión vecino-depende-de-vecino que DebtRank programa a mano, así que puede aprender una puntuación de fragilidad rápida y consciente de la topología —un sustituto del simulador, validado frente a él, no un reemplazo.