Opciones digitales y binarias

Ya conocéis una call vainilla: por encima del strike su payoff trepa dólar a dólar, y las griegas se portan como funciones educadas y continuas que podéis cubrir. Ahora conoced la digital — también llamada opción binaria — la exótica más sencilla que existe, y la que, calladamente, hace funcionar casi todo lo demás de este curso. Una digital no trepa. Salta: cobráis un pago fijo si la acción termina en el lado correcto de una línea, y nada si no lo hace. Ese único payoff de sí/no es el átomo. Los cupones de los autocancelables, los range accruals, los disparadores knock-in de una nota estructurada — quitadles el marketing y todos son simples paquetes de digitales. Aprended esta bien y el resto del curso es, sobre todo, ensamblaje. Al terminar valoraréis una digital como una probabilidad, la construiréis a partir de un call spread estrecho, y entenderéis exactamente por qué su delta intenta irse a infinito justo cuando menos os conviene.

Un payoff a cara o cruz (cash-or-nothing frente a asset-or-nothing)

Analogía. Una call vainilla es un regulador de intensidad: subid la acción y el payoff se ilumina suavemente. Una digital es un simple interruptor de luz — apagado por debajo del strike, encendido por encima, sin nada intermedio. No existe el “un poco encendido”. O cruzasteis la línea o no, y el premio es el mismo en cualquier caso.

Las definiciones. Hay dos sabores, y la diferencia está en qué cobráis:

• Una call cash-or-nothing paga una cantidad fija en efectivo Q si la acción termina por encima del strike K, y $0 en caso contrario. El pago es $Q \times \mathbf{1}\{S_T > K\}$ — ese indicador no es más que una forma elegante de escribir “1 si es cierto, 0 si es falso”.
• Una call asset-or-nothing paga una acción del propio subyacente (que vale $S_T$) si $S_T > K$, y $0 en caso contrario. El mismo disparador, pero el premio escala con dónde aterrice la acción.

(Las puts son la imagen especular — pagan cuando $S_T < K$.) Aquí viene la parte elegante que ata las digitales de vuelta al mundo vainilla que ya conocéis. El payoff de una call vainilla, $\max(S_T - K, 0)$, se descompone exactamente en estos dos átomos:

$\text{vanilla call} = (\text{asset-or-nothing call}) - K \times (\text{cash-or-nothing call with } Q = 1)$

Leedlo con palabras: por encima del strike una call vainilla os entrega la acción ($S_T$, la pieza asset-or-nothing) y os cobra el strike ($K$ en efectivo, la pieza cash-or-nothing) — y por debajo del strike ambas piezas son cero. La vainilla que habéis usado todo este tiempo eran, en secreto, dos digitales grapadas.

Ejemplo resuelto. Tomad una call cash-or-nothing con pago $Q$ de $100 y strike $K = 50$, sobre una acción que cotiza cerca de 50 hoy. Recorred el payoff:

Fijaos en la columna cash-or-nothing: $100 en el instante en que superáis 50, y obstinadamente $100 por mucho que vuele la acción. La columna asset-or-nothing sube porque os están entregando la acción. Ese contraste entre lo plano y lo creciente es toda la taxonomía.

Valorar una digital: no es más que una probabilidad

La mecánica. Como una call cash-or-nothing paga una Q plana exactamente cuando $S_T > K$, su valor de hoy es de espíritu sencillísimo:

$\text{price} = e^{-rT} \times Q \times \Pr{}^{\mathbb{Q}}(S_T > K)$

Eso no es más que “pago × probabilidad de ganar, descontado”. La única sutileza está en qué probabilidad. Bajo Black–Scholes la probabilidad neutral al riesgo de terminar in the money es $N(d_2)$ — el mismo $d_2$ que ya vive dentro de la fórmula de valoración vainilla que conocisteis antes. Así que la forma cerrada es limpia:

$\text{cash-or-nothing call} = e^{-rT}\, Q\, N(d_2)$

La call asset-or-nothing, por la misma lógica, se valora en $S_0\, N(d_1)$. Y — satisfactoriamente — restad $K$ unidades cash-or-nothing a la pata asset-or-nothing y recuperáis $S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)$, la call vainilla de manual. La descomposición no es una coincidencia mona; está horneada en los precios.

Ejemplo resuelto. Supongamos que el pago $Q$ es $100, el factor de descuento $e^{-rT} = 0.98$ (un pelín menos de un año a un tipo bajo), y vuestro modelo escupe $N(d_2) = 0.42$ — un 42% de probabilidad neutral al riesgo de terminar por encima del strike. Entonces:

$\text{price} = 0.98 \times 100 \times 0.42$

Recorredlo paso a paso: $100 \times 0.42 = 42$, es decir, $42 de pago esperado, y descontando por $0.98$ da $42 \times 0.98 = 41.16$, es decir, $41.16. Así que esta digital vale unos $41.16 hoy. El precio se lee como una probabilidad casi literalmente — quitad el descuento y los $100, y os queda mirando un “42% de probabilidad”.

La réplica con call spread (y por qué acota el precio)

La construcción. Aquí está el truco que las mesas usan de verdad. Tomad un bull call spread: largo una call con strike en $K - \varepsilon$, corto una call con strike en $K + \varepsilon$, ambas en cantidad $\tfrac{1}{2\varepsilon}$. Por debajo de $K-\varepsilon$ ambas expiran sin valor (payoff 0). Por encima de $K+\varepsilon$ las dos patas se cancelan en un payoff plano. A lo largo del hueco de $2\varepsilon$, el spread trepa linealmente — y como escalasteis la cantidad por $\tfrac{1}{2\varepsilon}$, esa rampa sube exactamente 1 a lo largo del hueco. Ahora encoged $\varepsilon \to 0$: la rampa se vuelve más estrecha y empinada mientras siempre sube un total de 1, hasta que en el límite es un escalón vertical de altura 1 plantado en $K$. Ese escalón es una digital cash-or-nothing con $Q = 1$. ¿Queréis un pago de $100? Multiplicad cada cantidad por 100.

La isla de abajo lo hace concreto. Es un spread con un hueco de $2 de ancho (largo call en 99, corto call en 101) en cantidad 50 cada una — así que a lo largo del hueco de $2 el payoff sube en $2 \times 50 = 100$, es decir, $100, y luego se aplana. Pasadla a modo Payoff y mirad la forma: una rampa empinada de 99 a 101, y luego una meseta plana en $100. Ahora imaginad pellizcar ese hueco de $2 hasta $0.50, escalando la cantidad para mantener la meseta en $100 — la rampa se vuelve casi vertical. Esa es la digital emergiendo del límite.

Ejemplo resuelto — cómo escala el nocional. Mantened la meseta fija en $100 y observad cómo la cantidad explota a medida que el hueco se estrecha:

El mismo premio de $100, pero para conservarlo debéis operar cada vez más contratos a medida que el hueco se estrecha — la cantidad es $\tfrac{Q}{\text{gap}}$, que se dispara a infinito. Esa explosión no es una nota al pie; es un anticipo de la pesadilla de la delta en la siguiente sección.

Así es también cómo se valoran las digitales en la práctica. Una mesa no puede cubrir un escalón de verdad, así que cubre la digital con un call spread finito — digamos un hueco de $0.50 — que sobrecubre ligeramente: la digital real es un escalón vertical, pero el spread trepa un pelín antes, pagando un poco de más en torno al strike. Para cubrir ese extra, la mesa cotiza la digital un poco por encima del teórico $e^{-rT} Q\, N(d_2)$. Ese hueco es el spread del lado comprador, y la réplica con call spread es exactamente por qué existe — y, como el spread es sensible a las vols implícitas de los dos strikes distintos, es también donde el skew se cuela en el precio.

Delta discontinua = una pesadilla de cobertura

El problema. La delta es cuánto se mueve el valor de la opción por cada $1 de movimiento de la acción — para una vainilla es un número suave entre 0 y 1. Para una digital, el valor tiene que recorrer el hueco entero de 0 a Q a lo largo de una rendija infinitesimal de precio justo en el strike. Cerca del vencimiento, sin tiempo restante para difuminar la incertidumbre, esa transición se vuelve afiladísima: el valor es básicamente un acantilado. La delta es la pendiente de ese acantilado, así que la delta se dispara hacia infinito justo en $K$ y se desploma a casi cero a ambos lados. La gamma — la tasa de cambio de la delta — hace algo aún peor, oscilando de un positivo gigante a un negativo gigante a medida que la acción cruza el strike.

Ahora imaginad al pobre operador que vendió esta digital y quiere cubrirla en delta con acciones. Para mantenerse neutral tendría que sostener una posición proporcional a la delta — lo que significa que, a medida que la acción se arrastra hacia el strike cerca del vencimiento, debe comprar una cantidad colosal de acciones por un meneo de un céntimo, y luego soltarlo todo en el instante en que la acción retrocede. La cobertura exige operar tamaños enormes en movimientos microscópicos, acumulando costes de transacción y muriendo a base de latigazos. Esto es el pin risk en su forma más pura y violenta: la acción “clavándose” cerca del strike al vencimiento convierte la cobertura en un juego imposible de pisar el freno a fondo y acelerar a tope en cada tick.

Cuándo usarías una

Cuándo usarla

Recurrid a una digital cuando vuestra visión sea genuinamente sobre una probabilidad, no una magnitud. Tres usos clásicos:

1. Una apuesta de probabilidad limpia. “Creo que hay más de un 60% de probabilidad de que la acción esté por encima de $80.” El precio de una digital es, a grandes rasgos, esa probabilidad, así que si vuestro número bate al del mercado, la digital está mal valorada a vuestro favor. Una call vainilla enturbiaría esto con una visión sobre cuánto por encima de $80 — la digital lo elimina.
2. Apalancamiento barato y definido sobre un evento binario. Resultados, un fallo judicial, una decisión de la FDA — un evento con resultado de sí/no. Una digital os deja dimensionar la apuesta con exactitud (conocéis el pago máximo y el coste máximo de antemano) sin el comportamiento abierto y propenso al vol crush de una vainilla.
3. El bloque de construcción de los productos estructurados. Este es el grande de este curso. Un cupón que paga solo si el índice está por encima de un nivel en una fecha de observación es una digital cash-or-nothing. Los autocancelables son pilas de estos disparadores; los range accruals cuentan digitales día a día. Una vez que veis digitales por todas partes, las notas estructuradas dejan de parecer magia y empiezan a parecer Lego.

Las contrapartidas, con honestidad. El payoff plano corta por ambos lados: no hay recorrido al alza más allá de Q — si la acción se dispara por encima del strike cobráis la misma cantidad fija que si lo superó por los pelos, así que renunciáis a la cola abierta de la vainilla. Y para el vendedor, la explosión de delta/gamma cerca del strike hace que una digital vendida sea genuinamente peligrosa de gestionar al vencimiento. Limpia de expresar, brutal de cubrir.

Juntándolo todo

Una opción digital (binaria) paga una cantidad fija ante una condición de sí/no — la exótica más sencilla, y el átomo detrás de los cupones de autocancelables, los range accruals y los disparadores de notas estructuradas. Viene en dos sabores: una call cash-or-nothing paga una Q plana por encima del strike, una call asset-or-nothing paga la propia acción, y una call vainilla es exactamente asset-or-nothing menos K unidades de cash-or-nothing. La valoración no es más que pago descontado × probabilidad de terminar in the money — bajo Black–Scholes, $e^{-rT} Q\, N(d_2)$ — así que el valor de una digital se lee como una probabilidad, inclinada por una pendiente del skew una vez que la vol implícita varía a lo largo de los strikes. Construís (y cubrís, y valoráis) una digital como el límite de un bull call spread estrecho, escalado: a medida que el hueco se encoge la cantidad explota hacia un escalón vertical, el spread finito sobrecubre ligeramente, y por eso las digitales cotizadas se sitúan un pelín por encima de la teoría. El precio de ese escalón es una delta discontinua que se dispara hacia infinito en el strike cerca del vencimiento — un pin risk tan violento que nadie la cubre con acciones. Usad una digital para una visión de probabilidad limpia, apalancamiento definido sobre un evento binario, o como bloque de construcción de productos estructurados — solo recordad que el recorrido al alza está limitado a Q y el riesgo cerca del strike es brutal para el vendedor.

A continuación — opciones barrera — donde el payoff no solo depende de dónde terminéis, sino de si la acción tocó alguna vez un nivel por el camino, superponiendo un disparador dependiente de la trayectoria sobre la lógica de todo o nada que acabáis de aprender.