Variables instrumentales y regresión discontinua

Las lecciones anteriores os ofrecían un trato: identificad los factores de confusión, medidlos, condicionad sobre ellos y la puerta trasera se cerrará de golpe. ¿Pero qué pasa cuando el factor de confusión es algo que no podéis medir — la pericia de un gestor, la información privada, el fundamental no observado que mueve a la vez vuestra señal y el retorno? No podéis controlar por una variable que nunca veis. La puerta trasera sigue abierta de par en par, y ninguna regresión por cuidadosa que sea la cerrará.

Esta lección trata de la salida de emergencia. En lugar de bloquear el camino contaminado, lo rodeáis: encontráis una palanca que empuja el tratamiento por razones que nada tienen que ver con el resultado, y leéis el efecto en cómo responde el resultado a ese empujón. Dos diseños comparten esta lógica — las variables instrumentales (VI) y la regresión discontinua (RD) — y ambos cambian la exigencia imposible “medid todos los factores de confusión” por otra distinta, a menudo más defendible: “encontrad una fuente de variación tan buena como aleatoria en el tratamiento”.

La intuición de un instrumento

Analogía. Imagina un perno atascado y oxidado (el efecto causal que quieres leer) enterrado bajo un montón de barro (el factor de confusión). No puedes limpiar el barro — no tiene fondo. Así que en su lugar encuentras una llave inglesa larga cuyo mango sobresale del barro limpiamente. Empujas el mango una cantidad conocida y observas cuánto gira el perno. Mientras la llave toque solo el perno — y no, pongamos, un segundo perno oculto —, la rotación del perno por unidad de empuje te dice exactamente cómo responde el perno. La llave inglesa es tu instrumento: un mango limpio sobre un mecanismo sucio. La versión clásica de manual es usar la lluvia como instrumento de la oferta de cosecha al estimar cómo afecta la oferta al precio — la lluvia zarandea la cosecha por razones puramente meteorológicas, así que no puede estar conchabada con lo que sea que mueva los precios. En experimentos, un estímulo (encouragement) o una lotería juegan el mismo papel: empujar al azar a algunas personas hacia un tratamiento que luego son libres de aceptar o rechazar.

Definición. Un instrumento $Z$ para el efecto del tratamiento $X$ sobre el resultado $Y$ es una variable que (i) provoca variación en $X$ y (ii) influye en $Y$ solo a través de $X$ — nunca directamente y nunca a través de un factor de confusión. El instrumento inyecta variación exógena en el tratamiento: una porción de $X$ que se menea por razones desconectadas de la causa común no medida. Como esa porción es limpia, regresar $Y$ sobre ella recupera el efecto causal incluso con la puerta trasera abierta.

Por qué aísla la variación exógena. Descompón el tratamiento en dos partes: la parte impulsada por el factor de confusión (sucia) y la parte impulsada por el instrumento (limpia). La regresión ordinaria usa toda la variación de $X$, así que vuelve a mezclar la parte sucia y hereda el sesgo. Las VI desechan cada meneo de $X$ salvo los meneos de los que el instrumento es responsable — y esos, por hipótesis, no llevan confusión. Pagas por esta pureza: usas mucha menos de la variación de los datos, así que las estimaciones de VI son más ruidosas. Pero ruidoso-e-insesgado le gana a preciso-y-equivocado cuando estás a punto de apostar capital sobre la respuesta.

Cuándo usarlo

Recurre a la idea del instrumento en cuanto sospeches de una causa común no observable — la variable que te encantaría controlar pero que nunca puedes medir (pericia, información privada, demanda latente). Si tu factor de confusión es medible, mídelo y condiciona sobre él; los instrumentos son la herramienta para cuando condicionar está descartado. También son el marco natural para cualquier escenario con un empujón cuasialeatorio ya integrado: una política que asigna elegibilidad por una regla, una lotería, un reajuste de índice que fuerza flujos.

Las dos condiciones de las VI

Analogía. Hay que marcar dos casillas para que la llave inglesa funcione. Relevancia: la llave debe agarrar de verdad el perno — empuja el mango y el perno más vale que gire, o no estarás midiendo nada. Puedes comprobarlo empujando y observando. Exclusión: la llave debe tocar solo el perno, nada más bajo el barro. No puedes comprobarlo mirando, porque el barro lo esconde todo — solo puedes argumentar, a partir de cómo se construyó la herramienta, que físicamente no puede alcanzar un segundo perno.

Definición — las dos condiciones.

(Una tercera condición, a menudo listada — independencia/exogeneidad, que $Z$ esté en sí asignada de forma tan buena como aleatoria — suele viajar con la exclusión y se defiende del mismo modo.)

Ejemplo resuelto — un instrumento financiero. Supón que quieres el efecto causal de la propiedad pasiva $X$ (la fracción de una acción en manos de fondos indexados) sobre la volatilidad del retorno $Y$ de la acción. El problema: un factor de confusión latente de “calidad fundamental” plausiblemente impulsa tanto cuánto dinero pasivo tiene un valor como lo volátil que es. No puedes medir la calidad. Así que propones un instrumento $Z$ = si la acción queda justo dentro del Russell 1000 frente al Russell 2000 en la reconstitución anual.

• Relevancia: cruzar la frontera del índice fuerza mecánicamente a los fondos indexados a comprar o soltar el valor para seguir su índice de referencia, así que $Z$ mueve con fuerza la propiedad pasiva $X$. Comprobable, y aquí la primera etapa es fuerte.
• Exclusión: debes argumentar que caer en un lado del umbral de rango afecta a la volatilidad solo a través del cambio resultante en la propiedad pasiva — y no, pongamos, a través de la cobertura de analistas o la oferta de préstamo de valores que también saltan en la frontera. Esta es una afirmación sobre la fontanería del mercado, defendida con conocimiento institucional, y es exactamente donde este instrumento se vuelve discutible.

Cuándo usarlo

Deletrea ambas condiciones, por escrito, antes de estimar nada. La relevancia es una comprobación empírica rápida — si la primera etapa es débil, para ya (mira la siguiente sección sobre el porqué). La exclusión es el trabajo intelectual duro: lista cada camino alternativo del instrumento al resultado y argumenta cada uno cerrado. Si no puedes articular por qué $Z$ no tiene una segunda ruta hacia $Y$, no tienes un instrumento; tienes una correlación disfrazada.

Mínimos cuadrados en dos etapas (2SLS)

Analogía. De vuelta a la llave inglesa. Empujas el mango 2 pulgadas (el instrumento se mueve) y el perno gira 6 grados (el resultado se mueve). Pero no quieres grados-por-pulgada-de-mango; quieres grados-por-vuelta-del-perno. Así que también mides: ese mismo empujón de 2 pulgadas del mango giró el eje del perno 3 grados (la primera etapa). La respuesta que de verdad quieres es $6 \div 3 = 2$ grados de resultado por grado de tratamiento. Dividiste el efecto del mango sobre el resultado por el efecto del mango sobre el tratamiento. Esa división es todo el truco de las VI.

Definición — 2SLS en dos etapas.

• Etapa 1: regresa el tratamiento sobre el instrumento, $X = \pi_0 + \pi_1 Z + \text{ruido}$, y guarda los valores ajustados $\hat{X}$. Esos valores ajustados son la parte limpia del tratamiento, impulsada por el instrumento — la variación que, por exclusión, no lleva confusión.
• Etapa 2: regresa el resultado sobre esos valores ajustados, $Y = \beta_0 + \beta_1 \hat{X} + \text{ruido}$. La pendiente $\beta_1$ es tu estimación VI del efecto causal.

Para un único instrumento esto es algebraicamente idéntico al estimador VI / de Wald:

$\hat{\beta}_{\text{VI}} = \frac{\text{Cov}(Z, Y)}{\text{Cov}(Z, X)}$

y, cuando $Z$ es binaria, se simplifica a la forma reducida sobre la primera etapa — la diferencia en la media de $Y$ entre $Z{=}1$ y $Z{=}0$, dividida por la diferencia en la media de $X$ entre $Z{=}1$ y $Z{=}0$.

Ejemplo numérico resuelto — una estimación de Wald a partir de medias de grupo. Un regulador estimula al azar a algunas agencias de bolsa minoristas para que asignen por defecto a sus clientes a una cartera indexada de bajo coste ($Z{=}1$); el resto no recibe empujón ($Z{=}0$). El tratamiento $X$ es si un cliente acaba realmente invertido en índices; el resultado $Y$ es el retorno neto anual del cliente. El estímulo es tan bueno como aleatorio (es una lotería) y plausiblemente afecta a los retornos solo al cambiar si los clientes se pasan a la gestión pasiva — así que es candidato a instrumento.

La estimación de Wald divide la forma reducida por la primera etapa:

$\hat{\beta}_{\text{VI}} = \frac{6.2\% - 5.0\%}{0.70 - 0.40} = \frac{1.2\%}{0.30} = 4.0\%.$

Así que pasarse a la gestión pasiva causa aproximadamente un aumento de 4 puntos porcentuales en el retorno neto anual — para los clientes cuyo comportamiento cambió de verdad el empujón. Fíjate en la lógica: el empujón movió los retornos un 1,2%, pero solo movió al 30% de los clientes hacia el tratamiento, así que el efecto de cada movido debe ser mayor — $1.2\% / 0.30 = 4.0\%$. Dividir por una primera etapa incompleta vuelve a escalar al alza el efecto diluido de la forma reducida hasta el efecto por tratado.

El problema del instrumento débil. Mira ese denominador. Si el estímulo apenas hubiera movido a nadie — pongamos que la primera etapa fuera $+0.03$ en lugar de $+0.30$ — dividirías por un número diminuto y ruidoso. Una primera etapa cercana a cero hace que la estimación VI explote y se vuelva gravemente sesgada (hacia el mismísimo sesgo del MCO del que intentabas escapar), con intervalos de confianza tan anchos que son inútiles. Por eso la relevancia no es una formalidad: un instrumento débil ($F$ muy por debajo de 10) no solo añade ruido, sino que produce respuestas confiadamente erróneas. Dividir por casi nada es cómo errores pequeños en el numerador se convierten en errores enormes en la estimación.

LATE — ¿de quién es el efecto que obtuviste? El 4,0% no es el efecto medio para todos. Es el efecto medio del tratamiento local (LATE): el efecto sobre los cumplidores (compliers) — los clientes que se pasaron a la gestión pasiva porque fueron estimulados y que no lo habrían hecho de otro modo. No dice nada sobre los siempre-tomadores (always-takers, que se pasarían a pasiva igualmente) ni sobre los nunca-tomadores (never-takers, que rechazan pase lo que pase). Distintos instrumentos mueven distintos cumplidores, así que dos VI válidas para el “mismo” tratamiento pueden devolver legítimamente números distintos. Las VI responden a “¿cuál es el efecto sobre las personas que mueve esta palanca en particular?” — no a “¿cuál es el efecto sobre todos?”.

Cuándo usarlo

Usa 2SLS cuando tengas un instrumento creíble y quieras un único número causal con errores estándar honestos; usa el cociente de Wald pelado cuando el instrumento sea binario y solo quieras la intuición o una estimación rápida a partir de medias de grupo. Empieza siempre por el estadístico F de primera etapa — es el precio de la entrada. Y enuncia tu estimación como un LATE: nombra a los cumplidores (“el efecto entre los clientes cuya asignación cambió de verdad el empujón”), porque fingir que es la media-para-todos es como los resultados de VI se sobregeneralizan en operaciones que no existen para la mayoría del universo.

Los instrumentos en finanzas son escasos y discutidos

Analogía. Encontrar un instrumento limpio en los mercados es como encontrar un cable en una caja de conexiones que conecta con exactamente una cosa. En un circuito ordenado es fácil. En un mercado financiero — una caja de conexiones donde cada cable está soldado a una docena más — tiras de lo que parece un cable aislado y tres luces que no esperabas parpadean. Ese parpadeo es la exclusión fallando: tu instrumento acaba de revelar una segunda ruta hacia el resultado.

El catálogo honesto. Unos pocos instrumentos se repiten en la investigación financiera. Ninguno está libre de polémica; para cada uno, la preocupación por la exclusión es el debate vivo.

Ejemplo resuelto — la exclusión colando una segunda ruta. Toma la reponderación de un índice como instrumento del efecto de la propiedad pasiva $X$ sobre el retorno $Y$. La relevancia es férrea: cruza la frontera y los fondos indexados tienen que operar contigo. Pero supón que, en el momento en que una acción entra en el índice, los analistas del lado vendedor también empiezan a cubrirla (más ojos, menor asimetría de información) y las mesas de préstamo de valores facilitan ponerse corto. Ahora el instrumento $Z$ tiene tres rutas hacia los retornos: la prevista a través de la propiedad pasiva, más la cobertura, más el préstamo. Tu estimación VI amontona las tres y se las atribuye solo a la propiedad pasiva. El número está sesgado no porque fallaran las matemáticas, sino porque falló la exclusión — la llave inglesa estaba tocando dos pernos de más bajo el barro.

Cuándo usarlo

En finanzas, trata los instrumentos como una herramienta de alta carga de la prueba, no como opción por defecto. Usa uno solo cuando (a) puedas señalar una fuente genuinamente mecánica o cuasialeatoria de variación del tratamiento, y (b) puedas enumerar los canales alternativos y argumentar cada uno cerrado — idealmente respaldado por una prueba de placebo o de falsación (¿“predice” el instrumento un resultado que no debería, si la exclusión se cumpliera?). Cuando no puedas superar ese listón, una RD en torno a una regla nítida, o cotas de sensibilidad honestas, suele ser más defendible que una VI discutida.

Diseño de regresión discontinua (RD)

Analogía. Imagina un colegio que admite a todo aspirante que saque 60 o más y rechaza a todo el que saque 59 o menos. Un alumno que sacó 60 y otro que sacó 59 son, a todos los efectos prácticos, el mismo alumno — misma capacidad, mismo entorno, misma suerte — separados por un único punto que es sobre todo ruido. Y sin embargo uno recibe el tratamiento (la admisión) y el otro no. Compara esos dos grupos — los justo-admitidos frente a los justo-rechazados — y cualquier brecha en sus resultados posteriores está causada por la admisión, porque el umbral ordenó a personas casi idénticas en tratamientos distintos. El umbral fabricó un diminuto experimento aleatorizado gratis.

Definición. Un diseño de regresión discontinua explota una regla de tratamiento de la forma “tratado si una variable de asignación continua $R$ cruza un umbral conocido $c$”. Justo en $c$, el estatus de tratamiento salta de forma discontinua mientras todo lo demás — fundamentales, características, los factores de confusión — varía suavemente. La estimación causal es el tamaño del salto en el resultado en el umbral: el límite de $Y$ cuando $R$ se aproxima a $c$ por arriba, menos el límite por abajo.

$\tau_{\text{RD}} = \lim_{r \downarrow c}\mathbb{E}[Y \mid R = r] - \lim_{r \uparrow c}\mathbb{E}[Y \mid R = r]$

Cualquier influencia confusora suave es la misma a ambos lados de una línea infinitesimalmente fina, así que se cancela — dejando solo el efecto del tratamiento.

Ejemplos financieros de umbrales nítidos.

• Rango de pertenencia a un índice: la reconstitución del Russell 1000 / 2000 asigna la pertenencia por un umbral de rango — las empresas justo por encima frente a justo por debajo del puesto 1000 son casi gemelas, pero solo un grupo entra en el índice de pequeña capitalización y absorbe los flujos pasivos.
• Umbrales de calificación crediticia: la frontera entre grado de inversión y alto rendimiento (p. ej., BBB- frente a BB+). Los mandatos fuerzan a muchas instituciones a soltar un bono que cruza de IG a basura, así que la línea de calificación es un umbral de tratamiento nítido para la venta forzada y los cambios de diferencial.
• Umbrales de margen / elegibilidad: un umbral de precio o capitalización bursátil que pasa un valor de marginable a no marginable, o de elegible para un mandato a no elegible.

Ejemplo numérico resuelto — el salto en el umbral. Estudia el efecto de cruzar a alto rendimiento sobre el diferencial de crédito de un bono. La variable de asignación es la calificación, con el umbral entre grado de inversión (justo por encima) y alto rendimiento (justo por debajo). Toma bonos en una banda estrecha a cada lado de la línea y promedia sus diferenciales:

Si los diferenciales variasen suavemente con la calidad crediticia, los cubos BBB- y BB+ — escalones adyacentes — deberían diferir solo modestamente, en línea con las brechas de unos 30–40 pb que ves en otros tramos de la escala. En cambio, el salto de justo-por-encima (210) a justo-por-debajo (340) es:

$\tau_{\text{RD}} = 340 - 210 = 130\ \text{pb}.$

El deterioro suave de los fundamentales explica quizá 35 pb de eso (el escalón típico de un peldaño a otro); los $\approx 95$ pb restantes son el efecto discontinuo de cruzar la línea — la venta forzada y la demanda perdida por mandato que golpean a un bono en el instante en que se le etiqueta de basura. Ese salto en exceso, no el nivel, es el efecto causal local de la rebaja-a-través-de-la-línea.

RD nítida frente a difusa. En un diseño nítido (sharp), cruzar el umbral cambia el tratamiento con certeza (rango por debajo de 1000 ⇒ definitivamente en el índice de pequeña capitalización). En un diseño difuso (fuzzy), cruzar el umbral solo cambia la probabilidad de tratamiento — sube las probabilidades pero no lo garantiza (p. ej., una rebaja hace probable la venta forzada pero no universal, ya que algunos tenedores no están atados por mandato). Una RD difusa se estima como las VI: divide el salto en el resultado por el salto en la probabilidad de tratamiento en el umbral — el mismo movimiento de forma-reducida-sobre-primera-etapa que el estimador de Wald. La RD nítida es solo el caso especial en que ese salto de tratamiento es igual a 1.

Cuándo usarlo

Usa la RD allá donde una regla dura y mecánica con un umbral conocido asigne el tratamiento — reconstituciones de índices, fronteras de calificación, umbrales de elegibilidad y margen, umbrales regulatorios de tamaño. Suele ser el diseño más defendible en finanzas precisamente porque la regla es exógena a cualquier empresa individual y la comparación es local, así que te apoyas menos en la historia no comprobable de la exclusión que persigue a las VI. Antes de fiarte de ella, siempre (1) representa la densidad de la variable de asignación y comprueba si hay amontonamiento, (2) muestra que la estimación es estable a lo largo de anchos de banda sensatos, y (3) di con claridad que la respuesta es local al umbral — no extrapoles el efecto del umbral a empresas que no están ni cerca de él.

Recapitulación

Cuando el factor de confusión no es medible, condicionar falla y debes rodear la puerta trasera en lugar de bloquearla. Las variables instrumentales encuentran una palanca $Z$ que zarandea el tratamiento por razones ajenas al resultado — válida solo si supera dos obstáculos: la relevancia (mueve de verdad el tratamiento; comprobable mediante la F de primera etapa) y la exclusión (llega al resultado solo a través del tratamiento; no comprobable, argumentada desde el mecanismo). El 2SLS aísla la parte limpia del tratamiento impulsada por el instrumento y lee el efecto en ella; para un instrumento binario ese es el cociente de Wald — forma reducida sobre primera etapa — y una primera etapa débil hace que todo explote hacia el sesgo del que huiste, mientras que la estimación que sí obtienes es solo un LATE sobre los cumplidores. En finanzas, los instrumentos válidos son escasos y discutidos porque la densa fontanería del mercado sigue rompiendo la exclusión: los flujos de índices, los shocks de oferta y las reglas de asignación cuelan todos segundas rutas hacia los retornos. La regresión discontinua es la prima más creíble — una regla nítida (rango de índice, la línea de calificación IG/HY, umbrales de elegibilidad) ordena unidades casi idénticas en tratamientos distintos, así que el salto en el resultado en el umbral es el efecto causal local. Protégela contra la manipulación (amontonamiento), elige el ancho de banda con honestidad y recuerda que la respuesta vive solo en la línea.