Calibrar un modelo basado en agentes

Has construido un mercado de abajo arriba: un zoo de agentes — operadores de momentum, fundamentalistas, operadores de ruido — chocando entre sí, y de ese tumulto emergen los hechos estilizados (colas anchas, agrupación de volatilidad, todo lo bueno). Precioso. Pero tu modelo tiene mandos. ¿Cuántos operadores de momentum? ¿Cómo de agresivos son? ¿Cómo de nervioso es el ruido? Ahora mismo ajustas esos mandos a ojo de buen cubero.

Esta lección trata de convertir las corazonadas en números — y es lo más difícil de todo el curso. El giro brutal: la única herramienta a la que recurrirías de la clase de estadística, la máxima verosimilitud, sencillamente no funciona aquí. Así que necesitamos un juego distinto.

Mandos sin verosimilitud

Analogía. Imagina un sintetizador antiguo sin etiquetas y con la carcasa sellada. Puedes tocarlo — girar un mando, oír el sonido — pero no puedes leer el diagrama del circuito para calcular cómo “debería” sonar cualquier ajuste. Para igualar un tono objetivo, retocas, escuchas, comparas, vuelves a retocar. Un MBA es ese sinte: puedes ejecutarlo y oír la salida, pero no puedes leer el cableado para obtener una fórmula de él.

Definición — el vector de parámetros. Agrupa todos los mandos de tu modelo en un vector $\theta$. Para un MBA típico podría ser

donde $p_{mom}$ es la proporción de agentes de momentum (que persiguen tendencias), $\alpha_{mom}$ es cómo de agresivamente persiguen, $\kappa_{fund}$ es la velocidad de reversión de los fundamentalistas (con qué fuerza empujan el precio de vuelta hacia el “valor justo”) y $\sigma_{noise}$ es la escala del flujo de órdenes aleatorio. Calibrar = encontrar el $\theta$ que hace que el simulador se comporte como la realidad.

Por qué no hay verosimilitud utilizable. La inferencia clásica quiere la verosimilitud $L(\theta) = p(\text{datos} \mid \theta)$ — la densidad de probabilidad de los datos observados dados los parámetros — y luego la maximiza (MLE) o la multiplica por una prior (Bayes). Pero aquí la densidad se genera empujando shocks aleatorios a través de miles de reglas de agente «si-entonces» que interactúan a lo largo de miles de pasos temporales. No hay expresión en forma cerrada para esa densidad. Decimos que la verosimilitud es intratable.

Cuando la verosimilitud es intratable pero aún puedes simular libremente, estás en el mundo de la inferencia libre de verosimilitud (también llamada basada en simulación): nunca evalúas $p(\text{datos}\mid\theta)$, solo ejecutas el simulador y comparas su salida con la realidad.

Cuándo usarlo

Este marco se aplica en el momento en que el proceso generador de datos de un modelo es un simulador estocástico de caja negra en vez de una fórmula: MBA, grandes modelos de red/epidémicos, modelos ecológicos basados en individuos, sistemas de colas complejos. Si puedes escribir una verosimilitud tratable (un modelo GARCH, por ejemplo), no vayas a lo libre de verosimilitud — usa la verosimilitud; es estrictamente más informativa. Ve a lo libre de verosimilitud solo cuando te veas obligado.

Método de momentos simulados (MSM)

Analogía. Volvamos al sinte. No intentas igualar la forma de onda entera muestra a muestra — eso es inútil. Igualas un puñado de rasgos: el tono, el brillo, el ataque. Si esos coinciden, los timbres suenan parecidos. El MSM hace exactamente esto para los mercados: elige unos cuantos rasgos reveladores (los hechos estilizados) y ajusta los mandos hasta que los rasgos simulados igualen a los reales.

Definición. Elige un vector de momentos $m$ — estadísticos resumen que capturan lo que te importa. Para un mercado es el vector de hechos estilizados, p. ej.

donde $\rho_1(|r|)$ es la autocorrelación de retardo 1 de los retornos absolutos (la huella de la agrupación de volatilidad) y $H$ es el exponente de Hurst (memoria larga). Calcula los momentos empíricos $m_{real}$ una vez a partir de los datos reales. Para un $\theta$ candidato, ejecuta el MBA, calcula los momentos simulados $m_{sim}(\theta)$ y minimiza la distancia ponderada

El $\hat\theta = \arg\min_\theta g(\theta)$ es tu estimación. Este método tiene varios nombres — método de momentos simulados (MSM), método simulado de momentos y distancia mínima simulada — todos la misma idea: minimizar una distancia entre estadísticos resumen simulados y reales.

Definición — la matriz de ponderación $W$. $W$ es una matriz definida positiva que dice cuánto cuenta cada momento y cómo se compensan entre sí. Pon $W = I$ (la identidad) y cada momento se pondera por igual en sus propias unidades brutas. La elección estadísticamente eficiente es $W = \Omega^{-1}$, la inversa de la matriz de covarianza de los momentos: los momentos ruidosos y poco fiables (gran varianza) se infraponderan, los precisos se sobreponderan. También arregla las unidades — la varianza podría ser 1.0 mientras la curtosis es 4.0, y la ponderación por covarianza inversa las pone en una escala común y comparable.

Ejemplo resuelto — una distancia de 3 momentos, paso a paso

Toma tres momentos: varianza, exceso de curtosis y autocorrelación de retardo 1 de $|r|$. A partir de datos reales:

Simulas el MBA en algún $\theta$ candidato y mides:

Usa la ponderación más simple, $W = I$, así que el objetivo es solo la distancia euclídea al cuadrado. Calcula primero el vector de residuos:

Ahora suma los cuadrados:

Ese único número, $2.2604$, es la pérdida para este $\theta$. Fíjate en que el término de curtosis ($2.25$) domina — las colas del modelo son demasiado finas (exceso de curtosis 2.5 frente a un objetivo de 4.0). El trabajo del optimizador es empujar $\theta$ (más interacción, más agresividad de momentum) para engordar esas colas y llevar $g$ hacia cero, sin destrozar los otros dos momentos.

Ajústalo a mano

Abajo está la isla en vivo de mercados emergentes. El deslizador es exactamente un mando de un $\theta$: la interacción entre agentes (retroalimentación), que convierte shocks independientes (i.i.d.) en retornos agrupados y de colas anchas. Observa los indicadores de exceso de curtosis y mayor shock.

Tu tarea: ajusta la interacción hasta que el exceso de curtosis ≈ 4 (nuestro objetivo $m_{real}$ del ejemplo resuelto). Encontrarás un ajuste «demasiado bajo» (colas finas, casi gaussiano) y otro «demasiado alto» (cracs absurdos), con un punto óptimo entre ambos. Esa búsqueda a mano que estás haciendo — prueba un valor, lee el momento, ajusta — es exactamente lo que automatiza el MSM, salvo que el optimizador lo hace sobre muchos mandos a la vez y minimiza el $g(\theta)$ completo.

Cuándo usarlo

El MSM es el caballo de batalla: recurre a él primero cuando tengas un vector de parámetros modesto (un puñado de mandos), un conjunto claro de momentos económicamente significativos y quieras sobre todo una estimación puntual $\hat\theta$. Está bien entendido, tiene teoría clásica de errores estándar y es barato comparado con los métodos más sofisticados de abajo. Sus límites — sin cuantificación nativa de la incertidumbre y problemas cuando $\theta$ tiene muchas dimensiones — son exactamente lo que abordan las herramientas de la siguiente sección.

Inferencia basada en simulación y subrogados

El MSM da una estimación puntual, pero cada simulación es cara y el objetivo es ruidoso, así que el instrumental moderno va más allá — a veces para obtener incertidumbre completa, a veces para esquivar el coste. Dominan tres familias.

Computación bayesiana aproximada (ABC). La idea es casi vergonzosamente simple: extrae un $\theta$ candidato de una prior, simula, calcula sus resúmenes y acepta $\theta$ si los resúmenes simulados caen dentro de una tolerancia $\varepsilon$ de los reales (es decir, $\lVert m_{sim}(\theta) - m_{real}\rVert < \varepsilon$); en caso contrario, recházalo. Los $\theta$ aceptados forman una distribución posterior aproximada. Un $\varepsilon$ menor → más preciso pero muchos más rechazos (esperas una eternidad por una aceptación). Úsalo cuando quieras incertidumbre bayesiana y puedas permitirte una avalancha de simulaciones.

Inferencia neuronal basada en simulación (SBI neuronal / estimación neuronal de la posterior). En vez de aceptar/rechazar, aprende. Ejecuta el simulador en muchos valores de $\theta$, recolecta pares (parámetros, resúmenes) y entrena una red neuronal para mapear resúmenes → una posterior sobre $\theta$. Una vez entrenada, le das los resúmenes reales y te devuelve una posterior de una sola pasada — amortizando el coste sobre todas las consultas futuras. Úsalo cuando tengas muchos parámetros, puedas permitirte un presupuesto inicial de entrenamiento y quieras posteriores rápidas y reutilizables.

Modelos subrogados / emuladores. El simulador es lento, así que ajusta un sustituto barato — un proceso gaussiano o una red neuronal emuladores — que prediga la pérdida (o los momentos) como función de $\theta$ a partir de un conjunto modesto de evaluaciones reales. Luego optimiza el emulador en vez del simulador, a menudo con optimización bayesiana que elige inteligentemente el siguiente $\theta$ que de verdad simular. Úsalo cuando cada simulación sea brutalmente cara y quieras encontrar un buen $\theta$ con la menor cantidad posible de ejecuciones reales.

Cuándo usarlo

Atajo de decisión: ¿quieres solo un buen $\theta$ con una sim baratita y pocos mandos → MSM. ¿Quieres una posterior y puedes quemar simulaciones → ABC. ¿Quieres una posterior, tienes muchos parámetros y puedes pagar un coste inicial de entrenamiento → SBI neuronal. La sim es atrozmente lenta → subrogado + optimización bayesiana. No son mutuamente excluyentes: la gente usa rutinariamente un subrogado para acelerar la ABC o la SBI.

Por qué la calibración de MBA está mal planteada

Hora de la parte honesta. Incluso con el instrumental perfecto, calibrar un MBA es genuinamente difícil de un modo profundo y estructural. «Mal planteada» significa que el problema no tiene las propiedades agradables (una solución única, estable y bien determinada) que la teoría de la estimación supone. Cuatro razones.

(a) Identificabilidad. Un problema es identificable si valores de parámetros distintos producen comportamientos observables distintos. Los MBA suelen fallar esto: muchos $\theta$ distintos producen el mismo vector de momentos. Más operadores de momentum siendo menos agresivos puede parecer idéntico, en los momentos, a menos operadores de momentum siendo más agresivos. La pérdida $g(\theta)$ tiene entonces todo un valle de casi-minimizadores, no un único punto — así que no puedes fijar un $\theta$ único. (Profundizamos en esto — y en qué hacer al respecto — en la siguiente lección.)

(b) Objetivo rugoso y estocástico. Como cada evaluación de $g(\theta)$ es una simulación aleatoria, la superficie de pérdida es a la vez irregular (muchos mínimos locales por las interacciones de agentes) y ruidosa (reevaluar el mismo $\theta$ da un número distinto). Los gradientes son poco fiables o indefinidos, así que el descenso por gradiente se atasca, y los optimizadores quedan atrapados en hoyos espurios que son solo ruido de Monte Carlo.

(c) Coste. Los MBA de alta fidelidad son lentos — miles de agentes a lo largo de miles de pasos, muchos caminos por cada $\theta$. Puede que solo te permitas cientos o pocos miles de evaluaciones en total. Intenta hacer optimización global de una función ruidosa y multimodal en un espacio de 6 dimensiones con 500 muestras; va justo. (Esto es precisamente por lo que existen los subrogados.)

(d) La elección de momentos es una decisión de modelado. Tú eliges el vector de momentos $m$, y esa elección define silenciosamente «qué cuenta como un buen ajuste». Empareja los momentos equivocados y calibrarás de maravilla con la cosa equivocada — un modelo que clava la varianza y la curtosis pero ignora la autocorrelación puede reproducir colas anchas mientras falla por completo la agrupación de volatilidad. Los momentos codifican tus prioridades; elígelos deliberadamente.

Cuándo usarlo (la mentalidad del compromiso)

Trata la calibración de MBA como un problema de diseño, no como un botón que pulsas. Favorece un modelo parsimonioso (los menos tipos de agente y parámetros que aún producen los fenómenos objetivo) emparejado con un conjunto de momentos pequeño e informativo (cada momento económicamente significativo, estimable de forma fiable y sensible a un parámetro que te importe). Cuantifica la incertidumbre cuando puedas (ABC/SBI), y reevalúa siempre $g$ en tu «mejor» $\theta$ unas cuantas veces para confirmar que el mínimo es real y no un hoyo de ruido. Aquí la humildad es una característica, no un defecto.

Resumen

• Un MBA es un conjunto de mandos $\theta$ (proporciones de agentes, agresividad, velocidad de reversión, escala de ruido) sin verosimilitud tratable — la densidad de los datos solo existe implícitamente dentro de un simulador estocástico. Así que la MLE queda descartada; estás en inferencia libre de verosimilitud / basada en simulación.
• Método de momentos simulados (MSM) = el caballo de batalla: elige un vector de momentos $m$ (la huella de los hechos estilizados) y minimiza la distancia ponderada $g(\theta) = (m_{sim}(\theta) - m_{real})^\top W (m_{sim}(\theta) - m_{real})$. La matriz de ponderación $W$ escala y compensa los momentos; $W = \Omega^{-1}$ es eficiente.
• El instrumental moderno añade incertidumbre y doma el coste: ABC (aceptar dentro de $\varepsilon$), SBI neuronal (aprender resúmenes → posterior) y subrogado/emulador + optimización bayesiana (optimizar un sustituto barato).
• La calibración de MBA está mal planteada: no identificable (muchos $\theta$, mismos momentos), con un objetivo rugoso y ruidoso, evaluaciones caras y una elección de momentos que es una decisión de modelado. Más momentos no es mejor. Prefiere un modelo parsimonioso + un conjunto de momentos pequeño e informativo.